Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1 .

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид .

Пример.

Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием.

Решение.

По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому

Занятие 2. Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства неопределенного интеграла.

Основные методы интегрирования неопределенного интеграла.

Определенный интеграл и его геометрический смысл.

Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла.

Зная производную или дифференциал функции, можно найти саму эту функцию (восстановить функцию). Такое действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием.

Первообразной функцией по отношению к данной функции называется такая функция
, производная от которой равна данной функции, т.е.

Для данной функции первообразных функций бесчисленное множество, т.к. любая из функций
, также является первообразной для .

Совокупность всех первообразных для данной функции называется ее неопределенным интегралом обозначается символом:

, где

называется подынтегральным выражением, функция
- подынтегральной функцией.

Геометрический смысл неопределенного интеграла. Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, полученных путем параллельного переноса графика функции
вдоль оси ординат (рис. 3).

Основные свойства неопределённого интеграла

Свойство 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Свойство 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Свойство 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс const:

Свойство 4. Линейность интеграла.

Таблица основных интегралов

	Интеграл
степенная


показательная
показательная
тригонометрические



обратные тригонометрические
обратные тригонометрические

Основные методы интегрирования

Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся в использовании формулы:

Этот метод применяется в том случае, если интеграл
является более простым для решения чем
. Как правило, этим методом решаются интегралы вида
, где
- многочлен, а - одна из следующих функций:
,
,
, , ,
,
.

Рассмотрим некоторую функцию
, определённую на промежутке
, рис. 4. Выполним 5 операций.

1. Разобьём промежуток точками произвольным образом на частей. Обозначим
, а наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через , будем называть рангом дробления.

2. На каждом частичном участке
возьмём произвольную точку и вычислим в ней значение функции
.

3. Составим произведение

4. Составим сумму
. Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана.

5. Измельчая дробление (за счёт увеличения числа точек дробления ) и устремляя при этом ранг дробления к нулю (
) т.е. (увеличивая число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков
), будем находить предел последовательности интегральных сумм

Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек , то он называется определённым интегралом от функции по промежутку и обозначается так:
.

Геометрический смысл определенного интеграла. Допустим, что функция непрерывна и положительна на промежутке . Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD (рис. 4). Интегральная сумма
даёт нам сумму площадей прямоугольников с основаниями
и высотами
. Её можно принять за приближённое значение площади криволинейной трапеции ABCD , т.е.

причём, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n →+∞ и λ → 0 мы получим:

В этом и заключается геометрический смысл определённого интеграла.

Основные свойства определённого интеграла

Свойство 1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю.

Свойство 2. При перемене местами пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный.

Свойство 3. Линейность интеграла.

Свойство 4. Каковы бы ни были числа , если функция
интегрируема на каждом из промежутков
,
,
(рис. 5), то:

Теорема. Если функция непрерывна на промежутке , то определённый интеграл от этой функции по промежутку равен разности значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и на нижнем пределах интегрирования, т.е.

(Формула Ньютона-Лейбница) .

Эта формула сводит нахождение определенных интегралов к нахождению неопределенных интегралов. Разность
называется приращением первообразной и обозначается
.

Рассмотрим основные способы вычисления определённого интеграла: замену переменных (подстановку) и интегрирование по частям.

Подстановка (замена переменной) в определённом интеграле - необходимо выполнить следующие действия:

и
;

Замечание. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу.

2. Интегрирование по частям в определённом интеграле сводится к применению формулы:

Примеры решения задач

Задание 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

1.
. Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянный множитель. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:

Задание 2. Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной.

1.
. Сделаем замену переменной
, тогда . Исходный интеграл примет вид:

Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:

Задание 3. Найти неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям.

1.
. Введем следующие обозначения: смысл ... основное понятие интегрального исчисления – понятие неопределенного интеграла ... неопределенного интеграла Основные свойства неопределенного интеграла Использовать таблицу основных неопределенных ...

Рабочая программа учебной дисциплины "высшая математика" Цикл

Рабочая программа

... основные законы... Интегральное исчисление функции одной переменной Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства ... интеграл и его геометрический смысл . Интеграл ... координатах. Неопределенный интеграл и... и практические занятия ". Петрушко И.М., ...

Интеграл является важной частью дифференциального исчисления. Интегралы могут быть двойные, тройные и т.д. Для нахождения площади поверхности и объема геометрических тел используются различные типы интегралов.

Неопределенный интеграл имеет вид: \(∫f (x)\, dx\) и определенный интеграла имеет вид: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

Область плоскости, ограниченной графиком определенный интеграла:

Операции интегрирования обратны дифференцированию. По этой причине надо вспомнить первообразную, функцию, таблицу производных.

Функция \(F (x) = x^2\) является первообразной для функции \(f (х) = 2х\) . Функции \(f (х) = x^2+2\) и \(f (х) = x^2+7\) также является первообразными для функции \(f (х) = 2х\) . \(2\) и \(7-\) это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится. Для записи неопределенного интеграла использует знак \(∫\) . Неопределенный интеграл - это совокупность всех первообразных функции \(f (х) = 2х\) . Операции интегрирования обратны дифференцированию. \(∫2x = x^2+C\) , где \(C\) это константа интегрирования, то есть если мы вычислим производную \(x^2\) , то получим \(2x\) , а это и есть \(∫2x\) . Легко, не правда ли? Если вы не поняли, то вам надо повторить производную функции. Теперь мы можем вывести формулу по которой мы будем вычислять интеграл: \(∫u^ndu=\frac{u^n+1} {n+1}, n ≠ -1\) . мы вычитали 1, теперь мы прибавляем 1 , n не может быть равно 0. Также существуют другие правила интегрирования для других основных функций которые надо выучить:

Решение неопределенного интеграла это обратный процесс нахождения первообразных дифференциального уравнения. Мы находим функцию, производная которой является интегралом, и не забываем добавлять "+ C" в конце.

Принципы интегрального исчесления были сформулированы независимо друг от друга Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем в конце 17-го века. Бернхард Риман дал строгое математическое определение интегралов. Первым документированным систематическим методом, способным определять интегралы, является метод исчесления древнегреческого астронома Евдокса, который пытался найти площади и объемы, разбив их на бесконечное число известных площадей и объемов. Этот метод был далее разработан и использован Архимедом в 3-м веке до н. э. и использовался для расчета площадей парабол и приближения к площади круга.

Аналогичный метод был независимо разработан в Китае около 3-го века нашей эры Лю Хуэем, который использовал его, чтобы найти площадь круга. Этот метод позже был использован в 5-м веке китайскими математиками-отцом и сыном ЗУ Чунчжи и ЗУ Генгом, чтобы найти объем сферы.

Следующие значимые достижения в интегральном исчислении не появлялись до 17-го века. В это время работы Кавальери и Ферма начали закладывать основы современного исчисления.

В частности, фундаментальная теорема исчисления интегралов позволяет решать гораздо более широкий класс задач. Равным по важности является комплексная математическая структура, которую разработали Ньютон и Лейбниц. Эта структура интегралов взята непосредственно из работы Лейбница и стала современным интегральным исчислением.Исчисление было изменено Риманом , используя пределы. Впоследствии были рассмотрены более общие функции, особенно в контексте анализа Фурье, к которым определение Римана не применяется. Лебег сформулировал другое определение интеграла, основанное в теории мер (подполе реального анализа).

Современное обозначение неопределенного интеграла было введено Готфридом Лейбницем в 1675 году.

Интегралы широко используются во многих областях математики. Например, в теории вероятностей интегралы используются для определения вероятности попадания некоторой случайной величины в определенный диапазон.

Интегралы могут быть использованы для вычисления площади двумерной области, имеющей криволинейную границу, а также для вычисления объема трехмерного объекта, имеющего криволинейную границу.

Интегралы используются в физике, в таких областях, как кинематика, чтобы найти перемещение, время и скорость.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(x) или дифференциала df= f’(x) dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x ) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)= f(x) или dF(x)= F’(x) dx= f(x) dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..

Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)= f(x) или dF(x)= f(x) dx.

Теорема. Любая непрерывная на отрезке [ a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если F 1 (x) и F 2 (x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F 2 (x)= F 1 x)+ C, где С – постоянная .

Неопределенный интеграл, его свойства.

Определение. Совокупность F(x)+ C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

- (1)

В формуле (1) f(x) dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

и .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

Таблица неопределенных интегралов.

Приведем основные правила интегрирования функций.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u= x) , так и функцию от независимой переменной (u= u(x)) .)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|). (|u| < |a|).

Интегралы 1 – 17 называют табличными.

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл

, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ(t), откуда dx=φ’(t) dt.

Теорема. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(

Интегральное исчисление.

Первообразная функция.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке , если в любой точке этого отрезка верно равенство:

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение

	lnsinx+ C



	ln

Методы интегрирования.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен
, где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны
. Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл
, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

Доказательство : Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f (x ) dx = f [  (t )]  (t ) dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл
.

Сделаем замену t = sinx , dt = cosxdt .

Пример.

Замена
Получаем:

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем:
, а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или
;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

Интегрирование элементарных дробей.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I.
III.

II.
IV.

m, n – натуральные числа (m  2, n  2) и b 2 – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Вообще говоря, если у трехчлена ax 2 + bx + c выражение b 2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример .

Пример.

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида
можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде
. Сделаем следующее преобразование:

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл
.

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u 2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n , а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример :

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема: Если
- правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P (x ) = (x - a )  …(x - b )  (x 2 + px + q )  …(x 2 + rx + s )  ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A i , B i , M i , N i , R i , S i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A i , B i , M i , N i , R i , S i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов , суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Таким образом 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений . Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

Тогда значение заданного интеграла:

Интегрирование некоторых тригонометрических

функций.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида
.

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки
. Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

Интеграл вида
если

функция R cosx .

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx .

Функция
может содержать cosx только в четных степенях, а, следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Пример.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида
если

функция R является нечетной относительно sinx .

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx .

Пример.

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx .

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Пример.

Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Пример.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример.

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида
где n - натуральное число.

С помощью подстановки
функция рационализируется.

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

Интегрирование биноминальных дифференциалов.