Закон распределения дискретной случайной величины. Примеры решения задач

В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ - время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.

Непрерывная случайная величина - это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.

Свойства функции распределения:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - неубывающая.

4 . ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:

$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Плотность распределения вероятностей

Функция $f\left(x\right)={F}"(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.

Свойства функции $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_{-\infty }{f\left(t\right)dt}=F\left(x\right)$.

3 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ - это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)}=1$.

Пример 2 . Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)={F}"(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end{matrix}\right.$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx}.$$

Пример 3 . Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)\ dx}=\int^1_0{x\ dx}={{x^2}\over {2}}\bigg|_0^1={{1}\over {2}}.$$

Дисперсия непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2.$$

Пример 4 . Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2=\int^1_0{x^2\ dx}-{\left({{1}\over {2}}\right)}^2={{x^3}\over {3}}\bigg|_0^1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$

Определение 13.1. Случайная величина Х называется дискретной , если она принимает конечное либо счётное число значений.

Определение 13.2. Законом распределения случайной величины Х называется совокупность пар чисел ( , ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е. = P{X = }, причём =1.

Простейшей формой задания дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Х			…		…
Р			…		…

Ряд распределения можно изобразить графически. В этом случае по оси абсцисс откладывается , по оси ординат – вероятность . Точки с координатами ( , ) соединяют отрезками и получают ломаную, называемую многоугольником распределения, который является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины.

Пример 13.3. Построить многоугольник распределения случайной величины Х с рядом распределения

Х
Р	0,1	0,3	0,2	0,4

Определение 13.4. Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биноминальное распределение с параметрами (n,p )если она может принимать целые неотрицательные значения k {1,2,…,n } с вероятностями Р(Х=х )= .

Ряд распределения имеет вид:

Х			…	k	…	n
Р			…		…

Сумма вероятностей = =1.

Определение 13.5. Говорят, что дискретная форма случайной величины Х имеет распределение Пуассона с параметром ( >0),если она принимает целые значения k {0,1,2,…} с вероятностями Р(Х=k )= .

Ряд распределения имеет вид

Х			…	k	…
Р			…		…

Так как разложение в ряд Маклорена имеет следующий вид , тогда сумма вероятностей = = =1.

Обозначим через Х число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А в независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом из них равна p (0< p <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями Х являются натуральные числа.

Определение 13.6. Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром p (0< p <1), если она принимает натуральные значения k N с вероятностями Р(Х=k)= , где . Ряд распределения:

Х				…	n	…
Р				…		…

Сумма вероятностей = = =1.

Пример 13.7. Монета брошена 2 раза. Составить ряд распределения случайной величины Х числа выпадений «герба».

P 2 (0)= = ; P 2 (1)= = =0,5; P 2 (2)= = .

Х
Р

Ряд распределения примет вид:

Пример 13.8. Из орудия стреляют до первого попадания по цели. Вероятность попадания при одном выстреле 0,6. произойдёт попадание при 3-м выстреле.

Поскольку p =0,6, q =0,4, k =3, тогда Р(А )= =0,4 2 *0,6=0,096.

14 Числовые характеристики дискретных случайных величин

Полностью характеризует случайную величину закон распределения, однако часто он бывает неизвестен, поэтому приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами (параметрами), описывающими случайную величину суммарно. Они называются числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия и др.

Определение 14.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через МХ =М(Х )=ЕХ .

Если случайная величина Х принимает конечное число значений, то МХ = .

Если случайная величина Х принимает счетное число значений, то МХ = ,

причём математическое ожидание существует, если ряд сходится абсолютно.

Замечание 14.2. Математическое ожидание некоторое число, приближённо равное определённому значению случайной величины.

Пример 14.3. Найти математическое ожидание случайной величины Х , зная её ряд распределения

Х
Р	0,1	0,6	0,3

МХ =3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Пример 14.4. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна p .

Случайная величина Х – число появления события A в одном испытании. Она может принимать значения =1 (A наступило) с вероятностью p и =0 с вероятностью , т.е. ряд распределения

Отсюда МС=С*1=С.

Замечание 14.6. Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х Определяется как дискретная случайная величина СХ , возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х , вероятности этих значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х .

Свойство 14.7. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ )=С∙МХ .

Если случайная величина Х имеет ряд распределения

Х			…		…
Р			…		…

Ряд распределения случайной величины

СХ			…		…
Р			…		…

М(СХ )= = = С∙М(Х ).

Определение 14.8. Случайные величины , ,…, называются независимыми , если для , i =1,2,…,n

Р{ , ,…, }= Р{ } Р{ }… Р{ } (1)

Если в качестве = , i =1,2,…,n , то получим из (1)

Р{ < , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:

( , ,…, ) = () ()... () (2)

для совместной функции распределения случайных величин , ,…, , которую можно также взять в качестве определения независимости случайной величины.

Свойство 14.9. Математическое ожидание произведения 2-х независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(ХУ )=МХ ∙МУ .

Свойство 14.10. Математическое ожидание суммы 2-х случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М(Х+У )=МХ +МУ .

Замечание 14.11. Свойства 14.9 и 14.10 можно обобщать на случай нескольких случайных величин.

Пример 14.12. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании 2-х игровых костей.

Пусть Х число очков, выпавших на первой кости, У число очков, выпавших на второй кости. Они имеют одинаковые ряды распределения:

Х
Р

Тогда МХ =МУ = (1+2+3+4+5+6)= = . М(Х+У )=2* =7.

Теорема 14.13. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: МХ =np .

Пусть Х – число появлений события А в n независимых испытаниях. –число появлений события А в i -том испытании, i =1,2,…,n. Тогда = + +…+ . По свойствам математического ожидания МХ = . Из примера 14.4 MX i =p, i =1,2,…,n, отсюда МХ = =np .

Определение 14.14. Дисперсией случайной величины называется число DX =M(X -MX ) 2 .

Определение 14.15. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число =.

Замечание 14.16. Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Она всегда неотрицательна. Для подсчёта дисперсии удобнее пользоваться другой формулой:

DX = M(X - MX ) 2 = M(X 2 - 2X∙ MX + (MX ) 2) = M(X 2) - 2M(X∙ MX ) + M(MX ) 2 = =M(X 2)-MX∙ MX+ (MX ) 2 = M(X 2) - (MX ) 2 .

Отсюда DX = M(X 2) - (MX ) 2 .

Пример 14.17. Найти дисперсию случайной величины Х , Заданной рядом распределения

X
P	0,1	0,6	0,3

MX =2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M(X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;

DX =13.3-(3,5) 2 =1,05.

Свойства дисперсии

Свойство 14.18. Дисперсия постоянной величины равна 0:

DC = M(С- MС) 2 = M(С- С) 2 =0.

Свойство 14.19. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

D(СX ) =C 2 DX .

D(CХ)=М(С- CMX ) 2 =М(С(X- MX ) 2) = C 2 M(X - MX ) 2 = C 2 DX .

Свойство 14.20. Дисперсия суммы 2-х независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

D(Х+Y )=DХ +DY .

D(X + У )=М((X + Y ) 2) – (M(X + Y )) 2 = M(X 2 + 2XY + Y 2 ) - (MX + MY ) 2 = =M(X ) 2 +2МХ МY +M(Y 2)-(M(X ) 2 +2МХ МY +M(Y ) 2)= M(X 2)-(MX ) 2 +M(Y 2)- (MY ) 2 = = DX +DY .

Следствие 14.21. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Теорема 14.22. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p) 2 =). Отсюда D +2 ,

………………………………………………………

Аn - случайная величина Х приняла значение An.

Очевидно, что сумма событий A1 A2, . , An является достоверным событием, так как хотя бы одно из значений x1, x2, xn случайная величина обязательно принимает.

Поэтому P (A1 È А2 È . È Аn) = 1.

Кроме того, события А1, А2, ., An - несовместны, т. к. случайная величина при однократном осуществлении опыта может принять только одно из значений х1, х2, ., xn. По теореме сложения для несовместных событий получаем

Р(А1)+Р(А2)+ .+Р(Аn)=1,

т. е. p1+p2+ . +pn = 1, или, короче,

Следовательно, сумма всех чисел, расположенных во второй строке Таблицы 1, дающей закон распределения случайной величины X, должна быть равна единице.

ПРИМЕР 1 . Пусть случайная величина Х - число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения (в виде таблицы).

Случайная величина Х принимает значения

x1=1, х2=2, … , x6=6

с вероятностями

р1= р2 = … = р6 =

Закон распределения задается таблицей:

Таблица 2

ПРИМЕР 2. Биноминальное распределение. Рассмотрим случайную величину Х - число появлений события А в серии из независимых опытов, в каждом из которых А наступает с вероятностью р.

Случайная величина Х может, очевидно, принимать одно из следующих значений:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение, равное k, определяется формулой Бернулли:

Рn(k)= где q=1- р.

Такое распределение случайной величины называется биномиальным распределением или распределением Бернулли. Распределение Бернулли полностью задается двумя параметрами: числом n всех опытов и вероятностью р, с которой событие происходит в каждом отдельном опыте.

Условие для биномиального распределения принимает вид:

Для доказательства справедливости этого равенства достаточно в тождестве

(q+рх)n=

положить x=1.

ПРИМЕР 3. Распределение Пуассона. Так называется распределение вероятностей вида:

Р(k)=.

Оно определяется одним единственным (положительным) параметром а. Если ξ – случайная величина, имеющая распределение Пуассона, то соответствующий параметр а - есть среднее значение этой случайной величины:

а=Мξ=, где М – математическое ожидание.

Случайная величина равна:

ПРИМЕР 4. Показательное распределение.

Если время является случайной величиной, обозначим его τ, таково, что

где 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Среднее значение случайной величины t есть:

Плотность распределения имеет вид:

4) Нормальное распределение

Пусть - независимые, одинаково распределенные случайные величины и пусть Если слагаемые достаточно малы, а число n достаточно велико, - если при n à ∞ математическое ожидание случайной величины Мξ и дисперсия Dξ равная Dξ=M(ξ–Мξ)2, таковы, что Мξ~а, Dξ~σ2, то

- нормальное или гауссово распределение

5) Геометрическое распределение. Обозначим ξ число испытаний, предшествующих наступлению первого "успеха". Если считать, что каждое испытание длится единицу времени, то можно считать ξ временем ожидания до первого "успеха". Распределение имеет вид:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Гипергеометрическое распределение.

Имеется N – объектов среди которых n - "особых объектов". Среди всех объектов случайным образом выбирается k-объектов. Найти вероятность того, что среди отобранных объектов находится равно r - "особых объектов". Распределение имеет вид:

7) Распределение Паскаля.

Пусть x - общее число "неудач", предшествующих поступлению r-го "успеха". Распределение имеет вид:

Функция распределения имеет вид:

Равновероятностное распределение подразумевает, что случайная величина x может принимать любые значения на отрезке с одинаковой вероятностью. Плотность распределения при этом вычисляется как

Графики плотности распределения и функция распределения представлены ниже.

Перед тем, как объяснить понятие «белый шум», необходимо дать ряд определений.

Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента, является случайной величиной. Например, если U – случайная величина, то функция X(t)=t2U – случайная.

Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Таким образом, случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин {X(t)}, зависящих от параметра t.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсии. Напишем закон распределения :

Найдём математическое ожидание
:

Найдём дисперсию
:

Эта функция возрастает, следовательно, чтобы вычислить константу, ограничивающую дисперсию, можно вычислить предел:

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин неограниченны, что и требовалось доказать.

Б) Из формулировки теоремы Чебышева следует, что требование равномерной ограниченности дисперсий является достаточным, но не необходимым условием, поэтому нельзя утверждать, что к данной последовательности эту теорему применить нельзя.

Последовательность независимых случайных величин Х 1 , Х 2 , …, Х n , … задана законом распределения

D(X n)=M(X n 2)- 2 ,

учитывай, что M(X n)=0, найдем (выкладки предоставляются выполнить читателю)

Временно предположим, что n изменяется непрерывно (чтобы подчеркнуть это допущение, обозначим n через х), и исследуем на экстремум функцию φ(х)=х 2 /2 х-1 .

Приравняв первую производную этой функции к нулю, найдем критические точки х 1 =0 и х 2 =ln 2.

Отбросим первую точку как не представляющую интереса (n не принимает значения, равного нулю); легко видеть, что в точек х 2 =2/ln 2 функция φ(х) имеет максимум. Учитывая, что 2/ln 2 ≈ 2.9 и что N – целое положительное число, вычислим дисперсию D(X n)= (n 2 /2 n -1)α 2 для ближайших к числу 2.9 (слева и справа) целых чисел, т.е. для n=2 и n=3.

При n=2 дисперсия D(X 2)=2α 2 , при n=3 дисперсия D(Х 3)=9/4α 2 . Очевидно,

(9/4)α 2 > 2α 2 .

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4)α 2 , т.е. дисперсии случайных величин Хn равномерно ограничены числом (9/4)α 2 .

Последовательность независимых случайных величин X 1 , X 2 , …, X n , … задана законом распределения

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Замечание. Поскольку случайные величины Х, одинаково распределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожидания и убедиться, что оно кончено.

Поскольку случайные величины Х n независимы, то они подавно и попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Легко найти, что M(X n)=0, т.е.первое требование конечности математических ожиданий выполняется.

Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формуле

D(X n)=M(X n 2)- 2 ,

учитывай, что M(X n)=0, найдем

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна 2, т.е. дисперсии случайных величин Х n равномерно ограничены числом 2.

Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).

Случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределена F(x)=1/2+(arctg x)/π. Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1).

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a

Р(0< Х <1) = F(1)-F(0) = x =1 - x =0 = 1/4

Случайная величина Х функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1, 1).

Р(-1< Х <1) = F(1)-F(-1) = x =-1 – x =1 = 1/3.

Функция распределения непрерывной случайной величины Х (времени безотказной работы некоторого устройства) равна F(х)=1-е -х/ T (х≥0). Найти вероятность безотказной работы устройства за время х≥Т.

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале x≥T, равна приращению функции распределения на этом интервале: P(0

P(x≥T) = 1 - P(T

Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньшее 0.2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.

а) Так как при х≤2 функция F(х)=0, то F(0, 2)=0, т.е. P(х < 0, 2)=0;

б) Р(Х < 3) = F(3) = x =3 = 1.5-1 = 0.5;

в) события Х≥3 и Х<3 противоположны, поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая, что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) = 1-0.5 = 0.5;

г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому Р(Х≥5)+Р(Х<5)=1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х>4 функция F(x)=1, получим Р(Х≥5) = 1-Р(Х<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.

Случайная величина Х задана функцией распределния

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0.25, 0.75).

P(0.25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5

Следовательно, , или Отсюда , или.

Случайная величина X задана на всей оси Ox функцией распределения . Найти возможное значения , удовлетворяющее условию: с вероятностью случайная X в результате испытания примет значение большее

Решение. События и - противоложные, поэтому . Следовательно, . Так как , то .

По определению функции распределения, .

Следовательно, , или . Отсюда , или.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Итак, искомая функция распределения имеет вид

Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

При x=0 производная не существует.

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

Воспользуемся формулой . По условию ,и . Следовательно, искомая вероятность

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале (-π/2, π/2) равна f(x)=(2/π)*cos2x ; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4).

Воспользуемся формулой Р(a

Р(0

Ответ: π+24π.

fx=0, при x≤0cosx, при 0

Используем формулу

Если х ≤0, то f(x)=0, следовательно,

F(x)=-∞00dx=0.

Если 0

F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx.

Если x≥ π2 , то

F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1.

Итак, искомая функция распределения

Fx=0, при x≤0sinx, при 0 π2.

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Fx=0, при x≤0sinx, при 0 π2.

Найти функцию распределения F(x).

Используем формулу

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси Ох равеством . Найти постоянный параметр С.

. (*)

Таким образом,

Плотность распределения непрерывной случайной величины задана на всей оси равенством Найти постоянный параметр С.

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию . Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:

. (*)

Найдем сначала неопределенный интеграл:

Затем вычислим несобственный интеграл:

Таким образом,

Подставив (**) в (*), окончательно получим .

Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале равна ; вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный параметр С.

. (*)

Найдем сначала неопределенный интеграл:

Затем вычислим несобственный интеграл:

(**)

Подставив (**) в (*), окончательно получим .

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана в интервале равенством ; вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный параметр С.

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию , но так как f(x) вне интервала равна 0 достаточно, чтобы она удовлетворяла: Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:

. (*)

Найдем сначала неопределенный интеграл:

Затем вычислим несобственный интеграл:

(**)

Подставив (**) в (*), окончательно получим .

Случайная величина X задана плотностью распределения ƒ(x) = 2x в интервале (0,1); вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. Используем формулу

Подставив a = 0, b = 1, ƒ(x) = 2x, получим

Ответ: 2/3.

Случайная величина X задана плотностью распределения ƒ(x) = (1/2)x в интервале (0;2); вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. Используем формулу

Подставив a = 0, b = 2, ƒ(x) = (1/2)x, получим

М (Х) = = 4/3

Ответ: 4/3.

Случайная величина X в интервале (–с, с) задана плотностью распределения

ƒ(x) = ; вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. Используем формулу

Подставив a = –с, b = c, ƒ(x) = , получим

Учитывая, что подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, заключаем, что интеграл равен нулю. Следовательно, М(Х) = 0.

Этот результат можно получить сразу, если принять во внимание, что кривая распределения симметрична относительно прямой х = 0.

Случайная величина Х в интервале (2, 4) задана плотностью распределения f(x)=

. Отсюда видно, что при х=3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, . Кривая распределения симметрична относительно прямой х=3, поэтому и .

Случайная величина Х в интервале (3, 5) задана плотностью распределения f(x)=; вне этого интервала f(x)=0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

Решение. Представим плотность распределения в виде . Отсюда видно, что при х=3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, . Кривая распределения симметрична относительно прямой х=4, поэтому и .

Случайная величина Х в интервале (-1, 1) задана плотностью распределения ; вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) моду; б) медиану Х.

Примеры решения задач на тему «Случайные величины».

Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.

Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:


	0,89	0,10	0,01

Легко проконтролировать: .

Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.

Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:


p i		0,24

Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.

Решение. Рассмотрим распределение Бернулли (или биномиальное): вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз: , или:


	qn					pn

В ернёмся к задаче.

Возможные значения величины X (число отказов):

x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;

x 1 =1 – отказ одного элемента;

x 2 =2 – отказ двух элементов;

x 3 =3 – отказ всех элементов.

Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим

, ,

, .

Контроль: .

Следовательно, искомый закон распределения:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Задача 4 . Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что один патрон бракованный . Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 бракованных патрона?

Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом

количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: , где .

Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: .

Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.

При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .

Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:

Найти математическое ожидание.

Решение. .

Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.

Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:

Решение. Здесь .

Закон распределения квадрата величины X 2 :

X2

Искомая дисперсия: .

Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.

Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:

			10м

Найти её числовые характеристики.

Решение: м, м 2 ,

М 2 , м.

Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.

Задача 9. Случайная величина X задана функцией распределения:
.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .

Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому