Поперечная цилиндрическая равноугольная проекция гаусса. Понятие о картографических проекциях
Описание проекции
Проекция Гаусса-Крюгера применяется для вычисления плоских прямоугольных координат x и y из геодезических координат B и L поверхности референц-эллипсоида. На территории Российской Федерации в качестве референц-эллипсоида используется эллипсоид Красовского.
Проекция Гаусса-Крюгера является равноугольной поперечной циллиндрической проекцией Меркатора на касательный цилиндр. Для проецирования используется 3-х и 6-ти градусные зоны референц-эллипсоида вдоль осевого (центрального) меридиана. Для топографических карт в основном используются проекции 6-ти градусных зон.
Зона - участок земной поверхности, ограниченный двумя меридианами. Проекция Гаусса-Крюгера делит поверхность референц-эллипсоида на 60 зон шириной 6 градусов. Нумерация зон производится на восток от нулевого меридиана от 1 до 60. Зона 1 простирается от меридиана 0° до меридиана 6° с центральным меридианом 3°.
Долгота осевого меридиана зоны вычисляется по формуле:
где N - номер зоны.
Координаты
Для расчета координат используется прямоугольная километровая сетка. За ось OX принимается изображение осевого меридиана зоны с положительным направлением на север. За ось OY принимается изображение экватора с положительным направлением на восток. В каждой шестиградусной зоне применяется собственная система координат.
Для того чтобы все координаты были положительными, применяется восточное смещение, равное 500 000 м.
Для определения к какой зоне относятся значения координат, к численному значению координаты Y слева приписывается номер зоны.
Параметры проекции
Поперечная проекция Меркатора описывается следующим набором параметров:
b0 - широта начала координат проекции (равна 0);
l0 - долгота начала координат проекции;
y0 - смещение начала координат проекции вдоль меридиана;
x0 - смещение начала координат проекции вдоль параллели;
k0 - масштабный коэффициент в начале координат проекции.
Для проекции Гаусса-Крюгера соответствующие параметры принимают следующие значения:
l0 = долгота осевого меридиана (6 * N - 3, где N - номер зоны);
x0 = 500000 (восточное смещение);
k0 = 1 (для проекции на касательный цилиндр).
Необходимо обратить внимание, что для описания проекции применяются следующие направления осей прямоугольной системы координат: OX - по экватору на восток, OY - по меридиану на север.
Общеземные системы координат
Общеземная координатная система
Для описания всей земной поверхности применяется общеземной эллипсоид, поверхность которого наиболее близка к геоиду. Центр общеземного эллипсоида размещается в начале координат глобальной пространственной прямоугольной (геоцентрической) системы координат. Совокупность параметров общеземного эллипсоида и параметров ориентации общеземного эллипсоида в пространственной прямоугольной системе координат определяют общеземную координатную систему.
Наиболее широкое использование получила общеземная координатная система WGS84 с эллипсоидом WGS84 (World Goodetic System 1984). На территории Российской Федерации применяется общеземная координатная система ПЗ-90 (Параметры Земли 1990).
Параметры ориентации эллипсоида
Существуют различные способы ориентации эллипсоида в глобальной пространственной прямоугольной (геоцентрической) системе координат, в том числе 7-параметровый Гельмерта или, как указано в зарубежных источниках, Бурса-Вольфа.
7 параметров ориентации представляют собой:
dX, dY, dZ - линейные элементы взаимного ориентирования (м);
Rx, Ry, Rz - угловые элементы взаимного ориентирования (рад);
dS - масштабный элемент.
Мировая геодезическая система
В связи с широтой распространения за основу при расчете координат принята Мировая геодезическая система WGS84. Пересчет координат из одной системы координат в другую производится с использованием параметров ориентации относительно WGS84.
Параметры ориентации WGS84, соответственно:
dX = 0 м; dY = 0 м; dZ = 0 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = 0″; dS = 0.
Параметры Земли ПЗ-90
В соответствии с ГОСТ 32453-2013 (взамен отмененному ГОСТ Р 51794-2008) применяются две геоцентрические системы координат ПЗ-90 и ПЗ-90.02.
Параметры ориентации относительно WGS84:
dX = -1,10 м; dY = -0,30 м; dZ = -0,90 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = -0,20″; dS = -0,12 * 10 -6 ;
dX = -0,36 м; dY = 0,08 м; dZ = 0,18 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = 0″; dS = 0.
Референсные системы координат
Для максимально точного описания определенной территории земной поверхности применяются локальные или референц-эллипсоиды, оптимально ориентированные для выбранной территории.
На территории Российской Федерации в качестве референц-эллипсоида используется эллипсоид Красовского. Для вычисления геодезических координат на основе эллипсоида Красовского применяются геодезические системы координат 1942 года (СК-42) и 1995 года (СК-95).
В соответствии с ГОСТ 32453-2013 параметры ориентации референц-эллипсоида устанавливаются относительно геоцентрических систем координат ПЗ-90 и ПЗ-90.02.
СК-42 => ПЗ-90:
dX = 25 м; dY = -141 м; dZ = -80 м; Rx = 0″; Ry = -0,35″; Rz = -0,66″; dS = 0.
СК-95 => ПЗ-90:
dX = 25,90 м; dY = -130,94 м; dZ = -81,76 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = 0″; dS = 0.
СК-42 => ПЗ-90.02:
dX = 23,93 м; dY = -141,03 м; dZ = -79,98 м; Rx = 0″; Ry = -0,35″; Rz = -0,79″; dS = -0,22 * 10 -6 .
СК-95 => ПЗ-90.02:
dX = 24,83 м; dY = -130,97 м; dZ = -81,74 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = -0,13″; dS = -0,22 * 10 -6 .
Для определения параметров ориентации референц-эллипсоида относительно WGS84 необходимо попарно суммировать параметры ориентации референсных систем координат (СК-42, СК-95) и геоцентрических (ПЗ-90, ПЗ-90.02).
СК-42 => ПЗ-90 => WGS84:
dX = 23,90 м; dY = -141,30 м; dZ = -80,90 м; Rx = 0″; Ry = -0,35″; Rz = -0,86″; dS = -0,12 * 10 -6 .
СК-95 => ПЗ-90 => WGS84:
dX = 24,80 м; dY = -131,24 м; dZ = -82,66 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = -0,20″; dS = -0,12 * 10 -6 .
СК-42 => ПЗ-90.02 => WGS84:
dX = 23,57 м; dY = -140,95 м; dZ = -79,80 м; Rx = 0″; Ry = -0,35″; Rz = -0,79″; dS = -0,22 * 10 -6 .
СК-95 => ПЗ-90.02 => WGS84:
dX = 24,47 м; dY = -130,89 м; dZ = -81,56 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = -0,13″; dS = -0,22 * 10 -6 .
Методы определения параметров ориентации
Существует два метода определения параметров ориентации эллипсоида относительно пространственной прямоугольной (геоцентрической) системы координат:
Преобразованием радиус-вектора (EPSG:9606);
Поворотом системы координат (EPSG:9607) (значения поворота положительны при вращении против часовой стрелки).
Оба метода отличаются между собой знаками угловых элементов взаимного ориентирования Rx, Ry, Rz.
В ГОСТ 32453-2013 указаны параметры ориентации, соответствующие методу с поворотом системы координат.
Также этому методу соответствует описание параметров датума с использованием WKT-строки. Данное утверждение основано только на личных наблюдениях, но документального подтверждения найдено не было.
Для формирования строки описания системы координат для библиотеки PROJ.4 используются параметры, полученные методом преобразования радиус-вектора. Соответственно, при формировании строки описания системы координат параметры Rx, Ry, Rz, определенные в ГОСТ 32453-2013, должны указываться с противоположным знаком.
Параметры ориентации для СК-42 и СК-95 при использовании в строке PROJ.4 должны соответствовать:
СК-42 => ПЗ-90 => WGS84:
Towgs84=23.90,-141.30,-80.90,0,0.35,0.86,-0.12
СК-95 => ПЗ-90 => WGS84:
Towgs84=24.80,-131.24,-82.66,0,0,0.22,-0.12
СК-42 => ПЗ-90.02 => WGS84:
Towgs84=23.57,-140.95,-79.80,0,0.35,0.79,-0.22
СК-95 => ПЗ-90.02 => WGS84:
Towgs84=24.47,-130.89,-81.56,0,0,0.13,-0.22
В EPSG данные методы определены соответственно под кодами 9606 и 9607. В таблицах EPSG при указании параметров ориентации датумов также указывается метод их получения.
Порядок вычисления координат
Правообладателю необходимо определить один из четырех методов преобразования координат из WGS84 в проекцию Гаусса-Крюгера, которая наиболее достоверно удовлетворяет его потребности.
Использование EPSG при описании системы координат
В основе EPSG лежит район применения системы координат. Так как референсные системы координат СК-42 и СК-95 предназначены для проведения расчетов на территории евразийской части земной поверхности, то в таблицах EPSG с описанием систем координат обозначены параметры только для ограниченного числа зон проекции Гаусса-Крюгера. Поэтому определение описания системы координат по всей поверхности Земли с использованием кодов EPSG не представляется возможным.
Также, в рассматриваемой версии таблиц EPSG (7.5) отсутствует описание системы координат ПЗ-90.02 и, соответственно, параметры преобразования для СК-42 => ПЗ-90.02 => WGS-84 и СК-95 => ПЗ-90.02 => WGS-84.
Использование библиотеки PROJ.4
Библиотека PROJ.4 свободно распространяется в исходных кодах и имеет реализации для различных языков программирования, в том числе для C и JavaScript.
Для определенных выше параметров описания систем координат формируется строка для любой зоны проекции Гаусса-Крюгера (для СК-42 => ПЗ-90.02 => WGS-84) в виде:
Proj=tmerc +lat_0=0 +lon_0=L +k=1 +x_0=X +y_0=0 +ellps=krass
+towgs84=23.57,-140.95,-79.8,0,0.35,0.79,-0.22
+units=m +no_defs
где L = 6 * N - 3 (долгота осевого меридиана),
X = 500000 + 1000000 * N (восточное смещение),
N - номер зоны.
При этом необходимо учитывать тот факт, что PROJ.4 считает, что угловые элементы взаимного ориентирования Rx, Ry, Rz получены методом преобразования радиус-вектора и, соответственно, для полученных параметров Rx, Ry, Rz из ГОСТ 32453-2013 необходимо изменить знаки на противоположные.
Использование алгоритмов пересчета ГОСТ 32453-2013
При использовании алгоритмов, указанных в ГОСТ 32453-2013, можно самостоятельно реализовать пересчет координат из WGS84 в проекцию Гаусса-Крюгера и обратно, но для пересчета из иных систем координат в WGS84 придется воспользоваться сторонними разработками.
Литература
ГОСТ 32453-2013 - Глобальная навигационная спутниковая система. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек.
Комаровский Ю. А. «Использование различных референц-эллипсоидов в судовождении», Учебное пособие, 2005.
картографическая проекция , разработанная немецкими учёными Карлом Гауссом и Луи Крюгером . Применение этой проекции даёт возможность практически без существенных искажений изобразить довольно значительные участки земной поверхности и, что очень важно, построить на этой территории систему плоских прямоугольных координат . Эта система является наиболее простой и удобной при проведении инженерных и топографо-геодезических работ .Принцип и применение
Пример алгоритма перевода из географических координат в прямоугольные приведен в Викиучебнике .
В результате исследований было установлено, что оптимальные размеры территории изображения должны ограничиваться меридианами , отстоящими друг от друга на 6° (хотя в принятой в Германии первоначальной версии этой проекции меридианы отстоят на 3°). Эта фигура получила название сфероидального двуугольника . Его размеры: 180° по широте (от полюса до полюса), и 6° по долготе. Несмотря на то, что площадь зоны в проекции (зоны Гаусса) будет увеличенной, относительные искажения длин в отдалённых от среднего меридиана точках экватора на границе зоны составит 1/800. Максимальные искажения длин в пределах зоны составляет +0,14 %, а площадей - +0,27 %, а в пределах России - ещё меньше (примерно 1/1400). Таким образом, искажения длин и площадей в пределах зоны меньше, чем искажения, возникающие при печати карты за счёт деформации бумаги. Изображение зоны в проекции Гаусса практически не имеет искажений и допускает любые карто- и морфометрические работы.
Главным образом прямоугольная система координат используется в военном деле . На ней основана военная топография .
Точкой отсчёта принимается пересечение выбранного осевого меридиана с экватором . Для этого вся земная поверхность разбита на зоны ограниченные меридианами отстоящими друг от друга на 6°, с порядковой нумерацией начиная от Гринвичского меридиана на восток. Всего 60 зон. К примеру 8-я зона находится между меридианами 42° и 48° восточной долготы , а 58-я зона соответственно находится между меридианами 12° и 18° западной долготы .
Современные представления о форме и размерах Земли.
В геодезии форму Земли определяют как тело, ограниченное уровенной поверхностью. Уровенная поверхность – поверхность, которая пересекает отвесные линии под прямым углом. Идеальную фигуру, ограниченную уровенной поверхностью называют геоидом и принимают за общую фигуру Земли.Вследствие особой сложности, геометрической направленности геоида его заменяют другой фигурой – эллипсоидом, который получается от вращения эллипса вокруг его малой оси PP1. (a=6378245м; b=6356863м; сжатие a=(a-b)/a=1/298,3; R=6371,11км).
Плоские изображения участков земной поверхности.
Уменьшенное изображение на бумаге горизонтальной проекции небольшого участка местности называется планом.На плане местность изображается без заметных искажений, так как небольшой участок поверхности можно принять за плоскость.Картой называется уменьшенное изображение на бумаге горизонтальной проекции участка земной поверхности в принятой картографической проекции, то-есть, с учетом кривизны поверхности относимости. При проэктировании небольших участков земной поверхности малую часть уровенной поверхности можно заменить плоскостью. В этом случае отвесные линии параллельны между собой и горизонтальная проэкция земной поверхности преобразуется в ортогональную проекцию. Проекция линии местности на горизонтальную плоскость называется горизонтальным проложением. Формула гориз пролож(s=S*cosv). В геодезии также применяется центральная и картографическая проэкции.
Географическая система координат.
Положение точки на поверхности Земли определяется двумя координатами - широтой и долготой. Геодезическая сист коорд относится к поверхности эллипсоида вращения. Геодез широта(В) – угол между нормалью и плоскостью экватора. 0º≤В≤90º Геодез долгота (L) – угол между плоскостью начального меридиана(Гринвича) и плоскостью меридиана данной точки. Долготы изменяются от 0º до 180º, к западу от Гринвича - западные и к востоку - восточные. Все точки одного меридиана имеют одинаковую долготу. Астрономическая СК относится к поверхности сферы. Астроном широта(φ) – угол между между отвесом и плоскостью экватора. Астроном долгота (λ) – угол между плоскостью меридиана данной точки и плоскостью начального меридиана. 0º≤φ≤90º 0º≤λ≤180º
Сближение меридианов.
Угол между полуденными линиями двух точек, лежащих на одной параллели, называется сближением меридианов этих точек.γ = Δ λ * Sin(φ) Сближение меридианов двух точек, лежащих на одной широте, равно разности долгот этих точек, умноженной на синус широты.
Понятие о равноугольной поперечно-цилиндрической проекции Гаусса-Крюгера.
Сущность этой проекции заключается в следующем.
1.Земной эллипсоид меридианами разбивается на шести и трехградусные зоны. Средний меридиан называют осевым. Нумерация зон ведется на восток. Осевые меридианы лежат на внутренней поверхности цилиндра, в котором сферическая поверхность разбивается на отдельные участки(всего 60).
2.Каждая зона в отдельности конфермно проектируется на плоскость таким образом, чтобы осевой меридиан изображался прямой линией без искажений (т.е. с точным сохранением длин вдоль осевого меридиана). Экватор также изобразится прямой линией. За начало счета координат в каждой зоне принимается пересечение изображения осевого меридиана – оси абсциссе х и экватора – оси ординат у. Линии, параллельные осевому меридиану и экватору образуют прямоугольную координатную сетку.
3.Искажения длин линии в проекции Гаусса-Крюгера возрастают по мере удаления от осевого меридиана пропорционально квадрату ординаты. Эти искажения на краях шестиградусной зоны могут достигать величины порядка 1/1500 длины линии, а в трехградусной зоне 1/6000. Для отрезка с координатами конечных точек х1у1 и х2у2, формула поправки за искажение длины линии на плоскости имеет вид, где и R- средний радиус кривизны.В съемках крупного масштаба такими искажениями пренебрегать нельзя. В этом случае, при расположении участка на краю зоны, следует или учитывать искажения, или применять частную систему координат с осевым меридианом, проходящим примерно через середину участка работ.
В любой проекции изображение получается тем более искаженным, чем больше картографируемая территория. Поэтому прямоугольная система координат не может быть распространена на большую территорию. Приходится решать задачу по частям.
В 1825 г. К.Ф. Гаусс впервые решил общую задачу по изображению одной поверхности на другой с сохранением подобия в бесконечно малых частях. Частным случаем этой задачи является отображение поверхности эллипсоида вращения на плоскости. Предложенная К.Ф. Гауссом проекция практически не применялась. В 1912 г. А. Крюгер вывел и опубликовал рабочие формулы этой проекции. После этого проекция получила название проекции Гаусса–Крюгера и нашла широкое применение в топографо-геодезических работах.
Геометрическая интерпретация проекции Гаусса–Крюгера выглядит следующим образом. Поверхность земного эллипсоида условно делят меридианами на зоны, соответствующие 6° по долготе. Средний меридиан зоны называется осевым. Затем эллипсоид вписывается в поперечно расположенный цилиндр так, чтобы плоскость его экватора совместилась с осью цилиндра, а один из осевых меридианов оказался касательной к его боковой поверхности. Эту зону, а затем и последующие по определенному математическому закону проецируют на внутреннюю боковую поверхность цилиндра (рис. 4, а ). После проецирования поверхность цилиндра разворачивают в плоскость, разрезав цилиндр по образующим, касательным земных полюсов. Спроецированные аналогично последовательно одна за другой зоны соприкасаются между собой в точках, расположенных по линии экватора, как это показано на рис. 5, а .
Рис. 4. Схема образования проекции Гаусса–Крюгера:
а – геометрическое представление получения изображения зоны; б – спроецированное на плоскость изображение зоны (---- – действительные размеры зоны, - – размеры зоны в проекции)
Получается, что вся поверхность Земли разбивается на 60 зон, считая от начального – Гринвичского меридиана (0°). Через каждую зону от Северного до Южного полюса проходит прямолинейный осевой меридиан зон. Долгота осевого меридиана n -й зоны равна (6n – 3)°. Нумерация зон идет с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. Территория России располагается примерно в 28 зонах: от 4 до 32. В пределах каждой зоны плоская координатная система располагается самостоятельно. Оси X и Y размещаются по осевому меридиану зоны и экватору. Начало отсчета координат в их пересечении. Поскольку территория России расположена в северном полушарии, то все значения х всегда будут положительными. Значения координаты у могут быть в каждой зоне и положительными и отрицательными. Чтобы избежать этих неудобств, начало отсчета ординат искусственно сдвигают на запад на 500 км (рис. 5). Другими словами, к значению у прибавляют 500 км. Ширина полузоны по долготе составляет всего 3°, т. е. порядка 333 км, поэтому все значения у станут положительными. Поскольку в каждой зоне координаты могут совпадать, в значении у указывается также номер зоны. Например, если координаты точки даны в виде: х = 6 650 457, у = 4 307 128, то это значит, что точка расположена от экватора на расстоянии 6 650 457 м; в значении координаты у цифра 4 означает номер зоны, а от оставшегося числа следует отнять 500 000 м, тогда получим расстояние нашей точки от осевого меридиана, а именно – 192 872 м. Такие координаты называют преобразованными. Для удобства пользования плоскими координатами каждую зону покрывают сеткой квадратов, так называемой километровой сеткой (сторона квадрата равна 1 км), которая изображается на топографических картах масштаба 1:10 000; 1:25 000; 1:50 000 (на картах масштаба 1:100 000 квадраты двухкилометровые; 1:200 000 – от 4 до 10 км).
Рис. 5. Зональная система координат в проекции Гаусса–Крюгера:
а – деление поверхности Земли на зоны (1 – осевой меридиан, 2 – экватор); б – определение плоских координат в зоне
Такая зональная система координат, принятая в качестве государственной, обеспечивает возможность построения на территории всей Земли системы плоских прямоугольных координат и позволяет получать практически без искажений довольно большие участки земной поверхности.
Эта проекция была разработана немецким математиком Гауссом в 1820-30 гг. для картографирования Германии - так называемой ганноверской триангуляции. Но как истинно великий математик, он решил эту частную задачу в общем виде и сделал проекцию, пригодную для картографирования всей Земли. Математическое описание проекции было опубликовано в 1866 г. В 1912-19 гг. другой немецкий математик Крюгер провел исследование этой проекции и разработал для нее новый, более удобный математический аппарат. С этого времени проекция называется по их именам - проекцией Гаусса-Крюгера. По своему типу проекция является симметричной относительно среднего меридиана, равноугольной, равновеликой на среднем меридиане. Проекция не является строго равновеликой и имеет свойство немного завышать истинную величину площади по мере удаления от среднего меридиана. Величину искажений можно оценить аналитически.
В пределах каждой 6-градусной зоны определяется прямоугольная система координат Гаусса-Крюгера, где координаты отсчитываются в метрах от среднего меридиана зоны и от экватора. Прямоугольная система координат показана на следующем рисунке. Оси этой системы имеют обозначение: ось Y имеет направление на восток (вправо), а ось X направлена на север (вверх) вдоль среднего меридиана. Такое обозначение осей кажется немного непривычным, но так принято в геодезии. В северном полушарии координата X всегда положительна, а чтобы избежать путаницы с положительными-отрицательными значениями координаты Y при отсчете ее от среднего меридиана зоны, был принят искусственный сдвиг начала координат на 500 000 метров в западном направлении, как показано на рисунке ниже.
Чтобы сделать значения координат Гаусса-Крюгера однозначными, к координате Y дописывается слева номер зоны. В результате координаты имеют следующий вид:
Y = 7 421 350 м - 7 зона, на ~80 км западнее среднего меридиана зоны 7 ;
X = 6 177 200 м - это просто расстояние от экватора по меридиану.
Эта точка приблизительно соответствует расположению здания Центрлеспроекта в Москве. Осевой меридиан зоны 7 имеет восточную долготу 39 градусов.
Прямоугольные кординаты Гаусса-Крюгера в пределах зоны:
оси Y и X и и искусственное смещение на 500 км
Координата Y точки L 500 000
В соответствии с принятой терминалогией деление зоны на листы навывается разграфкой, а система нумерации листов - номенклатурой. Упомянутая выше точка лежит на листе топокарты масштаба 1: 1 000 000 с номенклатурным номером N-37. Разграфка и базовая номенклатура карт на территории России показана на рисунке.
Разграфка и базовая номенклатура карт масштаба 1: 1 000 000
Обратите внимание, что номера зон проекции Гаусса-Крюгера (в координатах) не совпадают с номенклатурными номерами тех же зон (на картах), величина сдвига равна 30. Зоны принято отсчитывать от Гринвича, в номенклатурные номера - от линии перемены дат.
Для определения номенклатур топокарт на заданную территорию выпускаются так называемые бланковые карты в географической проекции (прямоугольная сетка параллелей и меридианов). По краям карты проставлены номера зон и буквы широтных полос, как на приведеной выше карте, а сетка соответствует листам карт более крупных масштабов. Карты обычно охватывают определенный диапазон масштабов, например, от 1: 1 000 000 до 1: 100 000.