Криволинейный интеграл по астероиде. МА

1 рода.

1.1.1. Определение криволинейного интеграла 1 рода

Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L). Пусть для любой точки кривой (L) определена непрерывная функция f(x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А=P 0 , P 1 , P n = В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.27)

Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму

Пусть , где .

λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L )на элементарные части, ни от выбора точек M i криволинейным интегралом 1 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по длине дуги) и обозначают:

Замечание . Аналогично вводиться определение криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой (L).

Физический смысл криволинейного интеграла 1 рода:

Если (L)- плоская кривая с линейной плоскостью , то массу кривой находят по формуле:

1.1.2. Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода:

3. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то .

4. Криволинейный интеграл 1 рода не зависит от направления интегрирования:

5. , где - длина кривой.

1.1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода.

Вычисление криволинейного интеграла сводят к вычислению определенного интеграла.

1. Пусть кривая (L) задана уравнением . Тогда

То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .

Пример

Вычислить массу отрезка прямой от точки А(1;1) до точки В(2;4), если .

Решение

Уравнение прямой проходящей через две точки: .

Тогда уравнение прямой (АВ ): , .

Найдём производную .

Тогда . = .

2. Пусть кривая (L) задана параметрически : .

Тогда , то есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .

Для пространственного случая задания кривой: .Тогда

То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .

Пример

Найти длину дуги кривой , .

Решение

Длину дуги найдём по формуле : .

Для этого найдём дифференциал дуги .

Найдём производные , , .Тогда и длина дуги: .

3. Пусть кривая (L) задана в полярной системе координат: . Тогда

То есть дифференциал дуги вычислют по формуле .

Пример

Вычислить массу дуги линии , 0≤ ≤ , если .

Решение

Массу дуги найдём по формуле:

Для этого найдёмдифференциал дуги .

Найдём производную .

1.2. Криволинейный интеграл 2 рода

1.2.1. Определение криволинейного интеграла 2 рода

Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L) . Пусть на (L) задана непрерывная функция f (x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А = P 0 ,P 1 , P n = В в направлении от точки А к точке В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.28).

Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму , где - длина проекции дуги P i -1 P i на ось Оx . Если направление движения вдоль проекции совпадает с положительным направлением оси Оx , то проекцию дуг считают положительной , иначе - отрицательной .

Пусть , где .

Если существует предел интегральной суммы при λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L) на элементарные части, ни от выбора точек M i в каждой элементарной части, то этот предел называют криволинейным интегралом 2 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по координате х ) и обозначают:

Замечание. Аналогично вводится криволинейный интеграл по координате у:

Замечание. Если (L) - замкнутая кривая, то интеграл по ней обозначают

Замечание. Если на (L ) задано сразу три функции и от этих функций существуют интегралы , , ,

то выражение: + + называют общим криволинейным интегралом 2 рода и записывают:

1.2.2. Основные свойства криволинейного интеграла 2 рода:

3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода изменяет свой знак .

4. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то

5. Если кривая (L ) лежит в плоскости:

Перпендикулярной оси Ох , то =0 ;

Перпендикулярной оси Oy , то ;

Перпендикулярной оси Oz , то =0.

6. Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

1.2.3. Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода.

Работа А силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки М в точку N вдоль (MN ) равна:

1.2.4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводят к вычислению определенного интеграла.

1. Пусть кривая (L ) задана уравнением .

Пример

Вычислить, где (L )- ломаная OAB : O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Решение

Так как (рис.29), то

1)Уравнение (OA) : , ,

2) Уравнение прямой (AB ): .

2. Пусть кривая (L) задана параметрически: .

Замечание. В пространственном случае:

Пример

Вычислить

Где (АВ)- отрезок от А(0;0;1) до B(2;-2;3).

Решение

Найдём уравнение прямой (АВ ):

Перейдём к параметрической записи уравнения прямой (АВ) . Тогда .

Точке A(0;0;1) соответствует параметр t равный: следовательно, t=0.

Точке B(2;-2;3) соответствует параметр t , равный: следовательно, t=1.

При перемещении от А к В ,параметр t меняется от 0 до 1 .

1.3. Формула Грина . L ) в т. М(х;у;z) с осями Оx, Оy, Oz

Назначение . Онлайн калькулятор предназначен для нахождения работы силы F при перемещении вдоль дуги линии L .

Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода

Рассмотрим многообразие σ . Пусть τ(x,y,z) - единичный вектор касательной к σ , если σ - кривая, а n(x,y,z) - единичный вектор нормали к σ , если σ - поверхность в R 3 . Введём векторы dl = τ · dl и dS = n · dS , где dl и dS - длина и площадь соответствующего участка кривой или поверхности. Будем считать, что dσ =dl , если σ - кривая, и dσ =dS , если σ - поверхность. Назовём dσ ориентированной мерой соответствующего участка кривой или поверхности.

Определение . Пусть заданы ориентированное непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ и на σ – вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)+R(x,y,z). Разобьем многообразие на части многообразиями меньшей размерности (кривую – точками, поверхность –кривыми), внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1), ... ,M n (x n ,y n ,z n). Посчитаем значения F(x i ,y i ,z i), i=1,2,...,n вектор-функции в этих точках,умножим скалярно эти значения на ориентированную меру dσ i данного элементарного многообразия (ориентированные длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм если онсуществует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ -кривая и поверхностным, если σ - поверхность) второго рода, интеграломвдоль ориентированного многообразия, или интегралом от вектора F вдоль σ, и обозначается в общем случае, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов соответственно.
Заметим, что если F(x,y,z) - сила, то - работа этой силы по перемещению материальной точки вдоль кривой, если F(x,y,z) - стационарное (не зависящее от времени) поле скоростей текущей жидкости, то - количество жидкости, протекающей через поверхность S в единицу времени (поток вектора через поверхность).
Если кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме,

то

и для криволинейного интеграла второго рода имеем

Так как dS = n · dS =(cosα , cosβ , cosγ), где cosα , cosβ , cosγ - направляющие косинусы единичного вектора нормали n и cosαdS=dydz , cosβdS=dxdz , cosγdS=dxdy , то для поверхностного интеграла второго рода получаем

Если поверхность задана параметрически или, что тоже самое, в векторной форме
r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k, (u,v)∈D
то

где - якобианы (определители матриц Якоби, или, что то же самое, матриц производных) вектор-функций соответственно.

Если поверхность S может быть задана одновременно уравнениями то поверхностный интеграл второго рода вычисляется по формуле

где D 1 , D 2 , D 3 - проекции поверхности S на координатные плоскости Y0Z , X0Z , X0Y соответственно и знак “+” берётся, если угол между вектором нормали и осью, вдоль которой ведётся проектирование, острый, а знак “–“, если этот угол тупой.

Свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода

Отметим некоторые свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода.
Теорема 1 . Криволинейный и поверхностный интегралы 2-го рода зависят от ориентации кривой и поверхности, точнее

Теорема 2 . Пусть σ=σ 1 ∪σ 2 и размерность пересечения dlim(σ 1 ∩σ 2)=n-1 . Тогда

Доказательство. Включив в число многообразий разбиения в определении интеграла по многообразию второго рода общую границу σ 1 с σ 2 получаем требуемое.

Пример №1 . Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M 0 до точки M 1 .
F=x 2 yi+yj; , L: отрезок M 0 M 1
M 0 (-1;3), M 0 (0;1)
Решение .
Находим уравнение прямой вдоль отрезка M 0 M 1 .
или y=-2x+1
dy=-2dx

Пределы изменения x: [-1; 0]

Вычисление криволинейного интеграла по координатам.

Вычисление криволинейного интеграла по координатам сводиться к вычислению обыкновенного определенного интеграла.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода под дуге :

(1)

Пусть уравнение кривой интегрирования задано в параметрическом виде:

где t – параметр.

Тогда из уравнений (2) имеем:

Из этих же уравнений, записанных для точек А и В ,

найдем значения t A и t B параметра, соответствующие началу и концу кривой интегрирования .

Подставив выражения (2) и (3) в интеграл (1), получим формулу для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода:

Если кривая интегрирования задана в явном виде относительно переменной y , т.е. в виде

y=f(x), (6)

то примем переменную x за параметр (t=x) и получим следующую запись уравнения (6) в параметрическом виде:

Отсюда имеем: , t A =x A , t B =x B , и криволинейный интеграл 2-го приводиться к определенному интегралу по переменной x :

где y(x) – уравнение линии по которой производится интегрирование.

Если уравнение кривой интегрирования АВ задано в явном виде относительно переменной x , т.е. в виде

x=φ(y) (8)

то примем за параметр переменную y , запишем уравнение (8) в параметрическом виде:

Получим: , t A =y A , t B =y B , и формула для вычисления интеграла 2-го рода примет вид:

где x(y) – уравнение линии АВ .

Замечания.

1). Криволинейный интеграл по координатам существует, т.е. существует конечный предел интегральной суммы при n →∞ , если на кривой интегрирования функции P(x, y) и Q(x,y) непрерывны, а функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими первыми производными и .

2). Если кривая интегрирования замкнутая, то нужно следить направление интегрирования, поскольку

Вычислить интеграл , если АВ задана уравнениями:

а). (x-1) 2 +y 2 =1.

б). y=x

в). y=x 2

Случай А. Линия интегрирования есть окружность радиуса R=1 с центром в точке C(1;0) . Ее параметрическое уравнение:

Находим

Определим значения параметра t в точках А и В .

Точка А. t A =π .

Случай Б. Линия интегрирования парабола. Принимаем x за параметр. Тогда , , .

Получим:

Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом 2-го рода по замкнутому контуру и двойным интегралом по области Д , ограниченной этим контуром.

Если функция P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные и непрерывны в области Д , ограниченной контуром L , то имеет место формула:

(1)

– формула Грина.

Доказательство.

Рассмотрим в плоскости xOy область Д , правильную в направлении координатных осей Ox и Oy .

Контур L прямыми x=a и x=b разделяется на две части, на каждой из которых y является однозначной функцией от x . Пусть верхний участок АДВ контура описывается уравнением y=y 2 (x) , а нижний участок АСВ контура – уравнением y=y 1 (x) .

Рассмотрим двойной интеграл

Учитывая, что внутренний интеграл вычисляется при x=const получим:

Но первый интеграл в этой сумме, как следует из формулы (7), есть криволинейный интеграл по линии ВДА , так как y=y 2 (x) – уравнение этой линии, т.е.

а второй интеграл есть криволинейный интеграл функции P(x, y) по линии АСВ , так как y=y 1 (x) – уравнение этой линии:

Сумма этих интегралов представляет собой криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от функции P(x, y) по координате x .

В итоге получим:

(2)

Разбив контур L прямыми y=c и y=d на участки САД и СВД , описываемые соответственно уравнениями x=x 1 (y) и x=x 2 (y ) аналогично получим:

Сложив правые и левые части равенств (2) и (3), получим формулу Грина:

Следствие.

С помощью криволинейного интеграла 2-го рода можно вычислять площади плоских фигур.

Определим, какими для этого должны быть функции P(x, y) и Q(x, y) . Запишем:

или, применяя формулу Грина,

Следовательно, должно выполняться равенство

что возможно например, при

Откуда получим:

(4)

Вычислить площадь, ограниченную эллипсом, уравнение которого задано в параметрическом виде:

Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от пути интегрирования.

Мы установили, что по механическому смыслу криволинейный интеграл 2-го рода представляет работу переменной силы на криволинейном пути или другими словами, работу по перемещению материальной точки в поле сил. Но из физики известно, что работа в поле сил тяжести не зависит от формы пути, а зависит от положения начальной и конечной точек пути. Следовательно, имеются случаи, когда и криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от пути интегрирования.

Определим условия, при которых криволинейный интеграл по координатам не зависит от пути интегрирования.

Пусть в некоторой области Д функции P(x, y) и Q(x, y) и частные производные

И непрерывны. Возьмем в этой области точки А и В и соединим их произвольными линиями АСВ и AFB .

Если криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от пути интегрирования, то

(1)

Но интеграл (1) есть интеграл по замкнутому контуру ACBFA .

Следовательно, криволинейный интеграл 2-го рода в некоторой области Д не зависит от пути интегрирования, если интеграл по любому замкнутому контуру в этой области равен нулю.

Определим, какие условия должны удовлетворять функции P(x, y) и Q(x, y) для того чтобы выполнялось равенство

, (2)

т.е. для того, чтобы криволинейный интеграл по координатам не зависел от пути интегрирования.

Пусть в области Д функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные первого порядка и непрерывны. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл по координатам

не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области Д выполнялось равенство

Доказательство.

Следовательно, выполняется равенство (2), т.е.

, (5)

для чего необходимо выполнение условия (4).

Тогда из уравнения (5) следует, что выполняется равенство (2) и, следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования.

Таким образом, теорема доказана.

Покажем, что условие

выполняется в том случае, если подынтегральное выражение

является полным дифференциалом какой-либо функции U(x, y) .

Полный дифференциал этой функции равен

. (7)

Пусть подынтегральное выражение (6) является полным дифференциалом функции U(x, y) , т.е.

откуда следует, что

Из этих равенств найдем выражения для частных производных и :

, .

Но вторые смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, следовательно , что и требовалось доказать. криволинейных интегралов . Следует так же... приложения. Из теории криволинейных интегралов известно, что криволинейный интеграл вида (29 ...

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Реферат >> Математика

... (ед2) Нахождение площади криволинейного сектора.  = f()   О  Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную... градиента с производной по направлению. Кратные интегралы . Двойные интегралы . Условия существования двойного интеграла. Свойства...

Реализация математических моделей использующих методы интегрирования в среде MATLAB

Курсовая работа >> Информатика

... (i=1,2,…,n). Рис. 5 – Формула трапеций Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя... образом в символьном виде вычисляются любые кратные интегралы . 2. MATLAB – СРЕДА МОДЕЛИРОВАНИЯ MATLAB (Matrix ...

Действия с приближенными величинами

Реферат >> Математика

Различных уравнений, и при вычислении определенных интегралов , и в приближении функции. Рассмотрим различные способы...  x2… xk+m. В уравнении k чётно кратных и m нечётно кратных корней. Оно раскладывается на (k+m) уравнений...

На случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f (x , y ) - функция двух переменных, а L - кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB .

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L , а функция двух переменных f (x , y ) определена в точках кривой L . Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
В каждой части свободно выбрать точку M .
Найти значение функции в выбранных точках.
Значения функции умножить на
- длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода ;
- проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода .
Найти сумму всех произведений.
Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f (x , y ) по кривой AB .

первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

M i (ζ i ; η i ) - выбранная на каждом участке точка с координатами.

f i (ζ i ; η i ) - значение функции f (x , y ) в выбранной точке.

Δs i - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δx i - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔs i - длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл . Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B ) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

Криволинейные интегралы второго рода

Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy . Тогда получим интеграл

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P (x , y ) и f = Q (x , y ) и интегралы

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода .

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Пусть на плоскости задана кривая y = y (x ) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b . Тогда в точках кривой подынтегральная функция f (x , y ) = f (x , y (x )) ("игрек" должен быть выражен через "икс"), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Если интеграл проще интегрировать по y , то из уравнения кривой нужно выразить x = x (y ) ("икс" через "игрек"), где и интеграл вычисляем по формуле

Пример 1.

где AB - отрезок прямой между точками A (1; −1) и B (2; 1) .

Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) ):

Из уравнения прямой выразим y через x :

Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни "иксы":

Пусть в пространстве задана кривая

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Аналогично, если на плоскости задана кривая

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

где L - часть линии окружности

находящаяся в первом октанте.

Решение. Данная кривая - четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как

то дифференциал дуги

Подынтегральную функцию выразим через параметр t :

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции "игрек", выраженной через "икс": y = y (x ) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение "игрека" через "икс" и определим дифференциал этого выражения "игрека" по "иксу": . Теперь, когда всё выражено через "икс", криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции "икс", выраженной через "игрек": x = x (y ) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

, если

а) L - отрезок прямой OA , где О (0; 0) , A (1; −1) ;

б) L - дуга параболы y = x ² от О (0; 0) до A (1; −1) .

а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке - синяя). Напишем уравнение прямой и выразим "игрек" через "икс":

Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:

б) если L - дуга параболы y = x ² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:

В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема . Если функции P (x ,y ) , Q (x ,y ) и их частные производные , - непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве дана кривая

а в подынтегральные функции подставим

выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

если L - часть эллипса

отвечающая условию y ≥ 0 .

Решение. Данная кривая - часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра .

можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Если дан криволинейный интеграл и L - замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина .

Больше примеров вычисления криволинейных интегралов

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

где L - отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.

Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox - A (2; 0) , с осью Oy - B (0; −3) .

Из уравнения прямой выразим y :

, .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:

В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем.

Определение: Пусть в каждой точки гладкой кривой L = AB в плоскости Oxy задана непрерывная функция двух переменных f(x,y) . Произвольно разобьем кривую L на n частей точками A = М 0 , М 1 , М 2 , ... М n = B. Затем на каждой из полученых частей $\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}$ выберем любую точку $\bar{{M}_{i}}\left(\bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)$и составим сумму $${S}_{n}=\sum_{i=1}^{n}f\left(\bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)\Delta {l}_{i}$$ где $\Delta{l}_{i}={M}_{i-1}{M}_{i}$ - дуга дуги $\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}$. Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y) , заданой на кривой L.

Обозначим через d наибольшую из длин дуг $\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}$ (таким образом, d = $max_{i}\Delta{l}_{i}$). Если при d ? 0 существует предел интегральных сумм S n (не зависящих от способа разбиения кривой L на части и выбора точек $\bar{{M}_{i}}$), то этот предел называется криволинейным интегралом первого порядка от функции f(x,y) по кривой L и обозначается $$\int_{L}f(x,y)dl$$

Можно доказать, что если функция f(x,y) непрерывна, то криволинейный интеграл $\int_{L}f(x,y)dl$ существует.

Свойства криволинейного интеграла 1 рода

Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойства определеннного интеграла:

аддитивность,
линейность,
оценка модуля,
теорема о среднем.

Однако есть отличие: $$\int_{AB}f(x,y)dl=\int_{BA}f(x,y)dl$$ т.е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:

Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x), x $\in $ , то $${\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_a^b {f\left({x,y\left(x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left({y"\left(x \right)} \right)}^2}} dx} ;}$$ при этом выражение $dl=\sqrt{{1 + {{\left({y"\left(x \right)} \right)}^2}}} dx $ называется дифференциалом длины дуги.
Если крива L задана параметрически, т.е. в виде x=x(t), y=y(t), где x(t), y(t) - непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке $\left [ \alpha ,\beta \right ]$, то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left ({x\left(t \right),y\left(t \right)} \right)\sqrt {{{\left({x"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({y"\left(t \right)} \right)}^2}} dt}} $$ Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L, заданной параметрически: x=x(t), y=y(t), z=z(t), $t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]$. В этом случае, если f(x,y,z) - непрерывная функция вдоль кривой L, то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y,z} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left [ {x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)} \right ]\sqrt {{{\left({x"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({y"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({z"\left(t \right)} \right)}^2}} dt}} $$
Если плоская кривая L задана полярным уравнением r=r($\varphi $), $\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] $, то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left({r\cos \varphi ,r\sin \varphi } \right)\sqrt {{r^2} + {{{r}"}^2}} d\varphi}} $$

Криволинейные интегралы 1 рода - примеры

Пример 1

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

$$ \int_{L}\frac{x}{y}dl $$ где L дуга параболы y 2 =2x, заключенная между точками (2,2) и (8,4).

Решение: Найдем дифференциал дуги dl для кривой $y=\sqrt{2x}$. Имеем:

${y}"=\frac{1}{\sqrt{2x}} $ $$ dl=\sqrt{1+\left ({y}" \right)^{2}} dx= \sqrt{1+\left (\frac{1}{\sqrt{2x}} \right)^{2}} dx = \sqrt{1+ \frac{1}{2x}} dx $$ Следовательно данный интеграл равен: $$\int_{L}\frac{x}{y}dl=\int_{2}^{8}\frac{x}{\sqrt{2x}}\sqrt{1+\frac{1}{2x}}dx= \int_{2}^{8}\frac{x\sqrt{1+2x}}{2x}dx= $$ $$ \frac{1}{2}\int_{2}^{8}\sqrt{1+2x}dx = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}\left (1+2x \right)^{\frac{3}{2}}|_{2}^{8}= \frac{1}{6}(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}) $$

Пример 2

Вычислить криволинейный интеграл первого рода $\int_{L}\sqrt{x^2+y^2}dl $, где L - окружность x 2 +y 2 =ax (a>0).

Решение: Введем полярные координаты: $x = r\cos \varphi $, $y=r\sin \varphi $. Тогда поскольку x 2 +y 2 =r 2 , уравнение окружности имеет вид: $r^{2}=arcos\varphi $, то есть $r=acos\varphi $, а дифференциал дуги $$ dl = \sqrt{r^2+{2}"^2}d\varphi = $$ $$ =\sqrt{a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi }d\varphi=ad\varphi $$.

При этом $\varphi\in \left [- \frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} \right ] $. Следовательно, $$ \int_{L}\sqrt{x^2+y^2}dl=a\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}acos\varphi d\varphi =2a^2 $$