Условие независимости интеграла от пути интегрирования. Формула Грина

От пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода , где L – кривая, соединяющая точки M и N . Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D , в которой целиком лежит кривая L . Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L , а только от расположения точек M и N .

Проведем две произвольные кривые MPN и MQN , лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).

М N Рис. 1.

Предположим, что , то есть

Тогда , где L – замкнутый контур, состав-ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегриро-вания равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Билет №34 . Поверхностный интеграл первого род(по площади поверхности).Приложения(масса материальной поверхности, координаты центра тяжести, моменты, площадь искривленной поверхности).

Рассмотрим незамкнутую поверхность S , ограниченную контуром L , и разобьем ее какими-либо кривыми на части S 1 , S 2 ,…, S n . Выберем в каждой части точку M i и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проек-ции плоскую фигуру с площадью T i . Назовем ρ наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S .

Определение 12.1. Назовем площадью S поверхности предел суммы площадей T i при

Поверхностный интеграл первого рода.

Рассмотрим некоторую поверхность S , ограниченную контуром L , и разобьем ее на части S 1 , S 2 ,…, S п (при этом площадь каждой части тоже обозначим S п ). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части S i точку M i (x i , y i , z i) и составим интегральную сумму

. (12.2)

Определение 12.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы (12.2), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек M i , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функ-ции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).

Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.

Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 12.2 следует, что равен площади рассматриваемой поверхности S.

. (12.4)

Приложение поверхностного интеграла 1-го рода.

1. Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y) , можно найти в виде:

(14.21)

(Ω – проекция S на плоскость Оху ).

2. Масса поверхности

(14.22)

3. Моменты:

Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy , Oxz , Oyz ;

Моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

Моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

- (14.26)

Момент инерции поверхности относительно начала координат.

4. Координаты центра масс поверхности:

. (14.27)

Билет №35. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода(сведение его к кратному).

Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом, то есть уравне-нием вида z = φ(x, y) . При этом из определения площади поверхности следует, что

S i = , где Δσ i – площадь проекции S i на плоскость Оху , а γ i – угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в точке M i . Известно, что

где (x i , y i , z i) – координаты точки M i . Cледовательно,

Подставляя это выражение в формулу (12.2), получим, что

Где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху , являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.1).

S: z=φ(x,y)

Δσ i Ω

При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных по плоской области, которая в пределе при дает двойной интеграл Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла:

Замечание. Уточним еще раз, что в левой части формулы (12.5) стоит поверхностный интеграл, а в правой – двойной .

Билет № 36. Поверхностный интеграл второго рода. Поток векторного поля. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

Поток векторного поля.

Рассмотрим векторное поле А (М) , определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п (М) на выбранной стороне поверхности S .

Определение 13.3. Поверхностный интеграл 1-го рода

, (13.1)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а А п – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S .

Замечание 1. Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.

Замечание 2. Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (13.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).

Рассмотрим криволинейный интеграл

взятый по некоторой плоской кривой L , соединяющей точки М и N . Будем предполагать, что функции Р(х, у) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в рассматриваемой области D . Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от формы кривой L , а зависит только от положения начальной и конечной точек М и N .

Рассмотрим две произвольные кривые MPN и MQN , лежащие в рассматриваемой области D и соединяющие точки М и N . Пусть

(1)

Тогда на основании свойств 1 и 4 криволинейных интегралов имеем:

т.е. интеграл по замкнутому контуру L

В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру L , составленному из кривых MPN и NQM . Этот контур L можно, очевидно, считать произвольным.

Таким образом, из условия:

что для любых двух точек М и N криволинейный интеграл не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю .

Справедливо и обратное заключение:

если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки , а зависит только от положения этих точек . Действительно, что из равенства (2) следует равенство (1)

Теорема

Пусть во всех точках некоторой области D функции Р(х, у), Q(x, y) вместе со своими частными производными и непрерывны. Тогда, для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в этой области, был равен нулю, т.е. чтобы

(2΄)

необходимо и достаточно выполнение равенства

во всех точках области D.

Доказательство

Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в области D и для него напишем формулу Грина:

Если выполняется условие (3), то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно,

Таким образом, достаточность условия (3) доказана.

Докажем теперь необходимость этого условия, т.е. докажем, что если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой L в области D , то в каждой точке этой области выполняется условие (3).

Допустим, напротив, что равенство (2) выполняется, т.е.

а условие (3) не выполняется, т.е.

хотя бы в одной точке. Пусть, например, в некоторой точке имеем неравенство

Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа во всех точках некоторой достаточно малой области , содержащей точку . Возьмем двойной интеграл в этой области от разности . Он будет иметь положительное значение. Действительно,

Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе области , который, по предположению равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию (2), и значит, предположение, что отлично от нуля хотя бы в одной точке, не верно. Отсюда вытекает, что

во всех точках данной области D .

Таким образом, теорема полностью доказана.

При изучении дифференциальных уравнений было доказано, что выполнение условия

равносильно тому, что выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y) , т.е.

Но в этом случае вектор

есть градиент функции u(x, y) ;

Функция u(x, y) , градиент которой равен вектору , называется потенциалом этого вектора.

Докажем, что в этом случае криволинейный интеграл по любой кривой L, соединяющей точки М и N, равняется разности значений функции и в этих точках:

Доказательство

Если Рdx + Qdy является полным дифференциалом функции u(x, y) , то и криволинейный интеграл примет вид

Для вычисления этого интеграла напишем параметрические уравнения кривой L , соединяющей точки М и N :

Выражение, стоящее в скобках, есть функция от t , являющаяся полной производной от функции по t . Поэтому

Как мы видим, криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы кривой, по которой производится интегрирование .

Таким образом:

условия независимости криволинейных интегралов II рода от формы пути интегрирования следующие:

Если в некоторой области P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими и , то:

1. в области D не зависит от формы пути интегрирования, если его значения по всевозможно кусочно-гладким кривым , лежащим в данной области и, имеющим общее начало и общий конец одинаковы.

2. интеграл вдоль всякой замкнутой кривой L , лежащей в области D равен нулю.

3. существует такая функция u(x, y) , для которой выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал, т.е.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du .

4. в данной области выполнялось бы условие

в каждой точке области D .

Для вычисления интеграла, не зависящего от контура интегрирования

следует выбрать в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования ломаную, соединяющую точки и , звенья которой параллельны осям Ох и Оу.

Подынтегральное выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy при указанных условиях являются полным дифференциалом некоторой функции u= u(x, y) т.е.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Функцию u(x, y) (первообразную) можно найти, если вычислить соответствующий криволинейный интеграл по ломаной где - любая фиксированная точка, В(х, у) – переменная точка, а точка - имеет координаты х и . Тогда вдоль имеем и dy = 0 , а вдоль имеем x = const и dx = 0 .

Получаем следующую формулу:

Аналогично, интегрируя по ломаной где получим

Примеры

1. Вычислить

Данный интеграл не зависит от контура интегрирования, т.к.

Выберем в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат. На первом участке:

На втором участке:

Следовательно,

2. Найти первообразную u , если

Пусть и контуром К является ломаная OMN . Тогда

3. Найти , если

Здесь начальную точку в начале координат взять нельзя, т.к. в этой точке функции Р(х, у) и Q(x, y) не определены, а потому за начальную точку возьмем, например, . Тогда

4. Найти площадь, ограниченную эллипсом

Площадь фигуры, расположенной в плоскости ХОУ и ограничена замкнутой линией С, вычисляется по формуле

где контур С обходим в положительном направлении.

Преобразуем криволинейный интаграл в определенный, произведя замену

Параметр t пробегает значения от 0 до 2π.

Таким образом

3. Высичлить криволинейный интеграл по длине дуги L, если L – это арка циклоиды

ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ “КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ”

Вариант 1

Где L – отрезок прямой точки A (0;-2) и B (4;0) принадлежащие плоскости XOY.

Вдоль ломаной L:OAB, где O(0,0), A(2,0), B(4,5). Обход контура против часовой стрелки.

По координатам, если L – дуга эллипса лежащая в I-й четверти.

Где L – контур треугольника с вершинами A(1,1), B(2,2), C(1,3). Обход контура против часовой стрелки.

, и найти его.

7. Силовое поле образовано силой F(x,y), равной расстоянию точки ее приложения от начала координат и направленной в начало координат. Найти работу силы поля, затраченную на перемещение материальной точки единичной массы по дуге параболы y 2 =8x от точки (2;4) до точки (4;4 ).

Вариант 2

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – отрезок прямой соединяющей точки О (0;0) и А (1;2).

2. Вычислить криволинейный интеграл , если L – дуга параболы от точки A(-1;1) до точки B(1,1). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга окружности лежащая в 1 и 2 квадратах. Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл , где L – контур, образованный линией и отрезком оси OX при Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке силового поля сила имеет направление отрицательной полуоси ординат и равна квадрату абсциссы точки приложения. Найти работу поля при перемещении единичной массы по параболе от точки (1,0) до точки (0,1).

Вариант 3

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

1. где L – дуга параболы отсеченная параболой .

2. Вычислить криволинейный интеграл если L- отрезок прямой, соединение точки А(0,1), В(2,3). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга первой арки циклоиды .Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – эллипс Обход контура против часовой стрелки.

5. Установить, выполняется ли условие независимости интеграла от пути интегрирования для интеграла , и найти его.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса из точки А (а,0), в точку В (-а, 0).

Вариант 4.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

1. где L – контур квадрата

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга параболы точки А(0,0), до точки В (1,1). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – верхняя половина эллипса Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур треугольника с вершинами А (1;0), В (1;1), С (0,1). Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке окружности приложена сила , прекциями которой на оси координат являются Определить работу силы при перемещении материальной точки по окружности. Почему работа равна нулю?

Варивнт 5.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – отрезок прямой, соединяющий точки 0 (0,0), и А (4;2)

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга кривой соединяющей точки А(0,1), до точки В (-1,е). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – 1-я четверть окружности Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур, ограниченный и Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Поле образованно силой / / = направление которое составляет угол с направлением радиус – вектора точки ее приложения. Найти работу поля при перемещении материальной точки массы m по дуге окружности из точки (а,0) в точку (0,а).

Вариант 6.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – четверть окружности лежащая в I квадранте.

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – ломанная АВС, А(1;2), В (1;5), C(3;5). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – верхняя половина окружности Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур, ограниченный , Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Найти работу упругой силы , направленной к началу координат, если точка приложения силы описывает против часовой стрелки четверть эллипса лежащую в Iквадранте. Величина этой силы пропорциональна удалению точки от начала координат.

Вариант 7.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L –часть параболы от точки (1, 1/4) до точки (2;1).

2. Вычислить криволинейный интеграл где L – отрезок прямой, соединяющей точки В(1;2) и В (2;4). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – первая арка циклоиды Обход контура по часовой стрелке.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Материальная точка единичной массы перемещается по окружности под действием силы , проекциями которой на координате оси является . Построить силу в начале каждой окружности. Найти работу по контуру.

Вариант 8.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – контур прямоугольника с вершинами в точках 0 0(0;0), А (4;0), В (4;2), С (0;2).

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга параболы от точки А (0;0) до точки В (1;2). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – часть окружности лежащая в квадрате 1. Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур треугольника с вершинами А (0;0), В (1;0), С (0;1).Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Материальная точка перемещается по эллипсу под действием силы , величина которой равна расстоянию точки до центра эллипса и направлена к центру эллипса. Вычислить работу силы , если точка обходит весь эллипс.

Вариант 9.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – дуга параболы лежащая между точками

А , В (2;2).

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – отрезок прямой, соединяющей точки А(5;0) и В(0,5). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга эллипса между точками, соответствующими Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – окружность Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке кривой приложена сила , проекциями которой на оси координат являются Определить работу силы при перемещении материальной точки единичной массы по кривой из точки М(-4;0) в точку N (0;2).

Вариант 10.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L –отрезок прямой, соединяющей точки А

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга кривой от точки А(1;0) до В(е,5). Обход контура против часовой стрелки.

3.Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга окружности лежащей в 1У квадрате. Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур треугольника с вершинами А (1;0), В (2;0), С (1;2). Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке линии приложена сила , проекции которой на координатные оси Вычислите работу, совершенную силой при перемещении материальной точки по линии из М(1;0) в точку N (0;3).

Проведем две произвольные кривые MPN и MQN , лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).

М N Рис. 1. P

Предположим, что , то есть

Теорема 1. Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные и . Тогда для того, чтобы для любого замкну-того контура L , лежащего в области D , выполнялось условие

Необходимо и достаточно, чтобы = во всех точках области D .

Доказательство .

1) Достаточность: пусть условие = выполнено. Рассмотрим произвольный замкну-тый контур L в области D , ограничивающий область S , и напишем для него формулу Грина:

Итак, достаточность доказана.

2) Необходимость: предположим, что условие выполнено в каждой точке области D , но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой - ≠ 0. Пусть, например, в точке P(x 0 , y 0) - > 0. Так как в левой части неравенства стоит непре-рывная функция, она будет положительна и больше некоторого δ > 0 в некоторой малой области D` , содержащей точку Р . Следовательно,

Отсюда по формуле Грина получаем, что , где L` - контур, ограничивающий область D` . Этот результат противоречит условию . Следовательно, = во всех точках области D , что и требовалось доказать.

Замечание 1 . Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования являются:

Замечание 2. При выполнении условий (28/1.18) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и . Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

При этом функцию и можно найти по формуле

где (x 0 , y 0 , z 0) – точка из области D , a C – произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и , заданной формулой (28/1.19), равны P, Q и R .

Рассмотрим криволинейный интеграл

взятый по некоторой плоской кривой L, соединяющей точки М и N. Будем предполагать, что функции имеют непрерывные частные производные в рассматриваемой области D. Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от формы кривой L, а зависит только от положения начальной и конечной точек М и N.

Рассмотрим две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в рассматриваемой области D и соединяющие точки М и N (рис. 351). Пусть

Тогда на основании свойств 1 и 2 криволинейных интегралов (§ 1) имеем

т. e. криволинейный интеграл по замкнутому контуру

В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру L, составленному из кривых . Этот контур L можно, очевидно, считать произвольным.

Таким образом, из условия, что для любых двух точек М и N криволинейный интеграл не зависит формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Справедливо и обратное заключение: если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки, а зависит только от положения этих точек. Действительно, из равенства (2) следует равенство (1).

В примере 4 § 2 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, в примере 3 криволинейный интеграл зависит от пути интегрирования, так как в этом примере интеграл по замкнутому контуру не равняется нулю, а дает площадь, ограниченную рассматриваемым контуром; в примерах 1 и 2 криволинейные интегралы также зависят от пути интегрирования.

Естественно возникает вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема. Пусть во всех точках некоторой области D функции вместе со своими частными производными и непрерывны. Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, был равен нулю, т. е. чтобы

необходимо и достаточно выполнение равенства

во всех течках области

Доказательство. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в области D и для него напишем формулу Грина:

Если выполняется условие (3), то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно,

Таким образом, достаточность условия (3) доказана.

Докажем теперь необходимость этого условия, т. е. докажем, что если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой L в области D, та в каждой точке этой области выполняется и условие (3).

Допустим, напротив, что равенство (2) выполняется, т. е.

а условие (3) не выполняется, т. е.

хотя бы в одной точке. Пусть, например, в некоторой точке имеем неравенство

Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа во всех точках некоторой достаточно малой области D, содержащей точку . Возьмем двойной интеграл по этой области от разности . Он будет иметь положительное значение. Действительно,

Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе области который равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию (2) и, значит, предположение, что отлично от нуля хотя бы в одной точке, неверно. Отсюда

вытекает, что

во всех точках данной области

Таким образом, теорема полностью доказана.

В § 9 гл. XIII было доказано, что выполнение условия равносильно тому, что выражение есть полный дифференциал некоторой функции , т. е.

Но в этом случае вектор

есть градиент функции функция градиент которой равен вектору называется потенциалом этого вектора. Докажем, что в этом случае криволинейный интеграл

По любой кривой L, соединяющей точки М и N, (М) равняется разности значений функции и в этих точках:

Доказательство. Если является полным дифференциалом функции то и криволинейный интеграл примет вид

Для вычисления этого интеграла напишем параметрические уравнения кривой L, соединяющей точки М и

интеграл, сведется к следующему определенному интегралу:

Выражение, стоящее в скобках, есть функция от являющаяся полной производной от функции Поэтому

Аналогичное утверждение имеет место и для криволинейного интеграла по пространственной кривой (см. ниже § 7).

Замечание. Иногда приходится рассматривать криволинейные интегралы по длине дуги L от некоторой функции

Определение. Область G трехмерного пространства называется поверхностно односвяз-ной. если на любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области G. Например, внутренность сферы или все трехмерное пространство являются поверхностно односвязлыми областями; внутренность тора или трехмерное пространство, иа которого исключена прямая, поверхностно односвязными областями не являются. Пусть в поверхностно односвязной области G задан о непрерывное векторное поле Тогда имеет место следующая теорема. Теорема 9 .Для того чтобы криволинейный интеграл в поле вектора а не зависел от пути интегрирования, а зависел только от начальной и конечной точек пути (А и В), необходимо и достаточно, чтобы циркуляция вектора а вдоль любого замкнутого контура L, расположенного в области G, была равна нулю. 4 Необходимость. Пусть и т-еграл не зависит от пути интегрирования. Покажем, что тогда по любому замкнугому контуру L равен нулю. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в поле вектора а и возьмем на нем произвольно точки А и В (рис.35). По условию имеем - различные пути, соединяющие точни А и В\откуда как раз и есть выбранный зам!«утый контур L. Достаточность. Пусть для любого замкнутого контура L. Покажем, что в этом случае интеграл не зависит от пути интегрирования. Возьмем в поле вектора а две точки А и В, соединим их произвольными линиями L] и Ьг и покажем, что Для простоты ограничимся случаем, когда линии L\ и L2 не пересекаются. В этом случае объединение образует простой замкнутый контур L (рис. 36). По условию а по свойству аддитивности. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Потенциальное поле Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Вычисление потенциала в декартовых координатах Следовательно, откуда справедливость равенства (2) и вытекает. Теорема 9 выражает необходимое и достаточное условия независимости криволинейного интеграла от формы пути, однако эти условия трудно проверяемы. Приведем более эффективный критерий. Теорема 10. Для того, чтобы криволинейный.интеграл не зависел от пути интегрирования L, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле было безвихревым, Здесь предполагается, что координаты) вектора а(М) имеют непрерывные частные производные первого порядка и область определения вектора а(М) поверхностно односвязна. Замечание. В силу теоремы 9 независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю циркуляции век тора а вдоль любого замкнутого контура. Это обстоятельство мы используем при доказательстве теоремы. Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит от формы пути, или, что то же, циркуляция вектора а по любому замкнутому контуру L равна нулю. Тогда т. е. в каждой точке поля проекция вектора rot а на любое направление равна нулю. Это означает, что сам вектор rot а равен нулю во всех точках поля, Достаточность. Достаточность условия (3) вытекает из формулы Стокса, так как если rot а = 0, то и циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна нулю: Ротор плоского поля равен что позволяет сформулировать для плоского поля следующую теорему. Теорема 11. Для того, чтобы криволинейный интеграл в односвязном плоском поле не зависел от формы линии L, необходимо и достаточно, чтобы соотношение выполнялось тождественно во всей рассматриваемой области. Если область неодносвязна, то выполнение условия вообще говоря, не обеспечивает независимости криволинейного интеграла от формы линии. Пример. Пусть Рассмотрим интеграл Ясно, что подынтегральное выражение не имеет смысла в точке 0(0,0). Поэтому исключим эту точку. В остальной части плоскости (это будет уже не односвязная область!) координаты вектора а непрерывны, имеют непрерывные частные производные и Рассмотрим интеграл (6) вдоль замкнутой кривой L - окружности радиуса R с центром в начале координат: Тогда Отличие циркуляции от нуля показывает, что интеграл (6) зависит от формы пути интегрирования. §10. Потенциальное поле Определение. Поле вектора а(М) называется потенциальным, если существует скалярная функция и(М) такая, что При этом функция и(М) называется потенциалом поля; ее поверхности уровня называются эквипотенциальными поверхностями. то соотношение (1) равносильно следующим трем скалярным равенствам: Заметим, что потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого: если следовательно, - постоянное число. Пример 1. Поле радиус-вектора г является потенциальным, так как напомним, что Потенциалом поля радиус-вектора является, следовательно. Пример 2. Поле вектора является потенциальным. Пусть функция такая, что найдена. Тогда и откуда Значит, - потенциал поля. Теорема 12. Для того чтобы паче вектора а было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т. е. чтобы его ротор равнялся нулю во всех точках поля. При этом предполагается непрерывность всех частных производных от координат вектора а и поверхностная односвязность области, в которой задан вектор а. Необходимость. Необходимость условия (2) устанавливается непосредственным подсчетом: если поле потенциально, т. е. в силу независимости смешанных производных от порядка дифференцирования. Достаточность. Пусть поле вектора безвихревое (2). Для того чтобы доказать потенциальность этого поля, построим его потенциал и(М). Из условия (2) следует, что криволинейный интеграл не зависит от формы линии L, а зависит только от ее начальной и конечной точек. Зафиксируем начальную точку а конечную точку Му, z) будем менять. Тогда интеграл (3) будет функцией точки. Обозначим эту функцию через и(М) и докажем, что В дальнейшем будем записывать интеграл (3), указывая лишь начальную и конечную точку пути интегрирования, Равенство равносильно трем скалярным равенствам Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Потенциальное поле Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Вычисление потенциала в декартовых координатах Докажем первое из них, второе и третье равенст ва доказываются аналогично. По определению частной производной имеем Рассмотрим точку, близкую к точке Так как функция и(М) определяется соотношением (4), в котором криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем путь интегрирования так, как указано нарис.37. Тогда Отсюда Последний интеграл берется моль отрезка прямой ММ), параллельной оси Ох. На этом отрезке в качестве параметра можно принять координату ж: Применяя к интегралу в правой части (6) теорему о среднем, получаем где величина £ заключена между. Из формулы (7) вытекает, что Так как то в силу непрерывности функции получаем Аналогично доказывается, что Следствие. Векторное поле является потенциальным тогда и только тогда, когда криво линейный интеграл в нем не зависит от пути. Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Теорема 13. Интеграл в потенциальном поле а(М) равен разности значений потенциала и(М) поля в конечной и начальной точках пути интегрирования, Ранее был о доказано, что функция является потенциалом поля. В потенциальном поле криволинейный интефал не зависит от пуги интефирования. Поэтому, выбирая путь отточки М\ к точке М2 так, чтобы он прошел через точку Afo (рис. 38), получаем или, меняя ориентацию пути в первом интефале справа, Так как потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого, то любой потенциал рассматриваемого поля можетбыть записан в виде где с - постоянная. Делая в формуле (10) замену и- с, получим для произвольного потенциала v(M) требуемую формулу Пример 3. В примере 1 было показано, что потенциалом поля радиус-вектора г является функция где - расстояние от точки до начала координат. Вычисление потенциала в декартовых координатах Пусть задано потенциальное поле Ранее было показано, что потенциальная функция «(М) может быть найдена по формуле Интеграл (11) удобнее всего вычислять так: зафиксируем начальную точку и соединим ее с достаточно близкой текущей точкой М(х, y,z) ломаной, звенья которой параллельны координатным осям, . При этом на каждом звене ломаной изменяется только одна координата, что позволяет существенно упростить вычисления. В самом деле, на отрезке М0М\ имеем: На отрезке. Рис. 39 . На отрезке. Следовательно, потенциал равен где - координаты текущей точки на звеньях ломаной, вдоль которых ведется интегрирование. Пример 4. Доказать, что векторное поле к является потенциальным, и найти его потенциал. 4 Проверим, будет ли поле вектора a(Af) потенциально. С этой це/ью вычислим ротор поля. Имеем Поле является потенциальным. Потенциал этого поля найдем с помощью формулы (12). Возьмем за начальную точку Л/о начало координат О (так обычно поступают, если поле а(М) определено в начале координат). Тогда получим Итак, где с - произвольная постоянная. Потенциал этого поля можно найти и по-иному. По определению потенциал и(х, у, z) есть скалярная функция, для которой gradu = а. Это векторное равенство равносильно трем скалярным равенствам: Интегрируя (13) по х, получим где - произвольная дифференцируемая функция ог у и г. Продифференцируем по у: Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Потенциальное поле Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Вычисление потенциала в декартовых координатах Проинтегрировав (17) по у, найдем - некоторая функция z. Подставив (18) в (16), получим. Дифференцируя последнее равенство no z и учитывая соотношение (15), получим уравнение для откуда