Показательная возрастающая функция. Основные элементарные функции, их свойства и графики
1.Показательная функция – это функция вида у(х) =а х, зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).
Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2
Если а = 0 – функция у = определена и имеет постоянное значение 0
в) а =1
Если а = 1 – функция у = определена и имеет постоянное значение 1
Область определения функции (ООФ) Область допустимых значений функции (ОДЗ) 3. Нули функции (у = 0) 4. Точки пересечения с осью ординат oy (x = 0) 5. Возрастания, убывания функции Если , то функция f(x) возрастает 6. Чётность, нечётность функции Функция у = не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида) 7. Функция у = экстремумов не имеет 8. Свойства степени с действительным показателем: Пусть а > 0; a≠1 Тогда для xϵR; yϵR: Свойства монотонности степени: если , то Если a> 0, , то . 9. Относительное расположение фунцкции Чем больше основание а, тем ближе к осям ох и оу a > 1, a = 20 Пример 1. Введем сначала определение показательной функции. Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$. Введем свойства показательной функции, при $a >1$.
\ \[корней\ нет.\] \ Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке $(0,1)$. $f""\left(x\right)={\left(a^xlna\right)}"=a^x{ln}^2a$
\ \[корней\ нет.\] \ График (рис. 1). Рисунок 1. График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.
Введем свойства показательной функции, при $0 Область определения -- все действительные числа. $f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ -- функция ни четна, ни нечетна. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения. Область значения -- интервал $(0,+\infty)$. $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$
\ \[корней\ нет.\] \ \[корней\ нет.\] \ Функция выпукла на всей области определения. Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=0\] График (рис. 2). Исследовать и построить график функции $y=2^x+3$. Решение.
Проведем исследование по примеру схемы выше: Область определения -- все действительные числа. $f\left(-x\right)=2^{-x}+3$ -- функция ни четна, ни нечетна. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения. Область значения -- интервал $(3,+\infty)$. $f"\left(x\right)={\left(2^x+3\right)}"=2^xln2>0$ Функция возрастает на всей области определения. $f(x)\ge 0$ на всей области определения. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,4)$ $f""\left(x\right)={\left(2^xln2\right)}"=2^x{ln}^22>0$ Функция выпукла на всей области определения. Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0\] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty \] График (рис. 3). Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=2^x+3$
2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:
0
Если , то функция f(x) убывает
Функция y= , при 0
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.
b> 0; b≠1
Например:
Показательная функция непрерывна в любой точке ϵ R.
Если а0, то показательная функция принимает вид близкий к y = 0.
Если а1, то дальше от осей ох и оу и график принимает вид близкий к функции у = 1.
Построить график у =
Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $0
Пример задачи на построение показательной функции
