>> >> >> Методы интегрирования

Основные методы интегрирования

Определение интеграла, определенного и неопределенного, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.

Неопределенный интеграл

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv"dx к интегрированию выражения vdu=vu"dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Методы интегрирования , понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x 0 < x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1 . Сумма вида f(ξ i)Δ x i называется интегральной суммой, а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .

Методы интегрирования имеют следующие свойства:

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .

Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

(8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

Примеры вычисления интегралов

Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .

Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinx

Пример 3.33. Найти .

Решение. =

.

Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.

Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Пример 3.39 . Вычислить J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =

Примеры вычисления неопределённых интегралов

Вычисление интеграла по таблице

Интегрирование подстановкой:

Примеры вычисления интегралов

Основная формула Ньютона – Лейбница

Вычисления подстановкой

Глава 4 Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функции у и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференцированное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным , если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом ) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом ) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

1. Найти общее решение уравнения

o Разделив переменные имеем

Интегрируя обе части полученного уравнения:

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо C мы написали (1/2) lnC. Потенцируя последнее равенство получим

Это и есть общее решение данного уравнения.

Литература

В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование, «Популярные лекции по математике»,

Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.

В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»

Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1

В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1.

Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. - 1990. - Т. 1.

Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. - 1998. - Т. 1. - (Курс высшей математики и математической физики).

Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - 1990. - (Курс высшей математики и математической физики).

Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие-2-е изд.перераб. и доп. М.6Наука. 1989

Колягин Ю.М. Яковлев Г.Н. математика для техникумов. Алгебра и начала анализа 1 и 2 часть. Издательство «Наукка» М., 1981г.

Щипачев В.С. Задачи по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. Высш. Шк. 1997г.

Богомолов Н.В практические занятия по математике: учеб. Пособие для техникумов. Высш. Шк 1997г.

Процесс решения интегралов в науке под названием "математика" называется интегрированием. С помощью интегрирования можно находить некоторые физические величины: площадь, объем, массу тел и многое другое.

Интегралы бывают неопределенными и определенными. Рассмотрим вид определенного интеграла и попытаемся понять его физический смысл. Представляется он в таком виде: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличительная черта написание определенного интеграла от неопределенного в том, что есть пределы интегрирования a и b. Сейчас узнаем для чего они нужны, и что всё-таки значит определенный интеграл. В геометрическом смысле такой интеграл равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), линиями a и b, и осью Ох.

Из рис.1 видно, что определенный интеграл - это и есть та самая площадь, что закрашена серым цветом. Давайте, проверим это на простейшем примере. Найдем площадь фигуры на изображении представленном ниже с помощью интегрирования, а затем вычислим её обычным способом умножения длины на ширину.

Из рис.2 видно, что $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Теперь подставим их в определение интеграла, получаем, что $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text{ед}^2 $$ Сделаем проверку обычным способом. В нашем случае длина = 3, ширина фигуры = 1. $$ S = \text{длина} \cdot \text{ширина} = 3 \cdot 1 = 3 \text{ед}^2 $$ Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов - это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ - первообразная $ f(x), C = const $.

Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов

1. Узнаем определенный интеграл или нет.
2. Если неопределенный, то нужно найти первообразную функцию $ F(x) $ от подынтегральной $ f(x) $ с помощью математических преобразований приводящих к табличному виду функцию $ f(x) $.
3. Если определенный, то нужно выполнить шаг 2, а затем подставить пределы $ а $ и $ b $ в первообразную функцию $ F(x) $. По какой формуле это сделать узнаете в статье "Формула Ньютона Лейбница".

Примеры решений

Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.

В большинстве прикладных задач вычислять точное значение определенного интеграла не целесообразно, более того, это далеко не всегда возможно. Часто нам бывает достаточно знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, например, с точностью до одной тысячной.

Для нахождения приближенного значения определенного интеграла с требуемой точностью применяют численное интегрирование, к примеру, метод Симпсона (метод парабол) , метод трапеций или метод прямоугольников . Однако, в некоторых случаях можно вычислить определенный интеграл точно.

В этой статье мы остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем подробное решение характерных примеров. Также на примерах разберемся с заменой переменной в определенном интеграле и с нахождением значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Навигация по странице.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива : .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления .

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство .

Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

где .

Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке . Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a) , используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b) : , то есть . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .

Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид .

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).

Разберем на примере для ясности.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла .

Решение.

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, следовательно, определенный интеграл существует.

Обозначим . При x=9 имеем , а при x=18 имеем , то есть, . Подставляем полученные результаты в формулу :

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что одной из первообразных функции является функция , поэтому, по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Можно было обойтись и без формулы .

Если методом замены переменной взять неопределенный интеграл , то мы придем к результату .

Таким образом, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определенный интеграл:

Как видите, результаты совпадают.

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.

Функция является интегрируемой на отрезке в силу своей непрерывности.

Пусть u(x) = x , а , тогда , а . По формуле получаем

Этот пример можно решить и по-другому.

Находим множество первообразных функции интегрированием по частям и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Введите функцию, для которой надо найти интеграл

Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.

Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

Cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

X*arcsin(x)

Арккосинус

X*arccos(x)

Применение логарифма

X*log(x, 10)

Натуральный логарифм

Экспонента

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Иррациональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Арккотангенс

X*arсctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание
Другие функции: floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа